Question

10．如图所示，地面上方有一水平光滑的平行导轨，导轨左侧有一固定挡板，质量M=2Kg的小车紧靠挡板右侧．长L=0.45m的轻质刚性绳一端固定在小车底部的O点，另一端栓接质量m=1Kg的小球．将小球拉至于O点等高的A点，使绳伸直后由静止释放，取重力加速度g=10m/s²．
（1）求小球经过O点正下方的B点时，绳的拉力大小；
（2）若小球向右摆动到最高点后，绳与竖直方向的夹角为α，求cosα；
（3）若小车速度最大时剪断细绳，小球落地，落地位置与小球剪断细绳时的位置间的水平距离s=1m，求滑轨距地面的高度．

Answer 1

分析 （1）由机械能守恒定律可求得小球在最低点时的速度，由牛顿第二定律求出拉力；
（2）由水平方向动量守恒可求得小球到达最高点的速度；由机械能守恒可求得小球所在的高度，由几何关系求出绳与竖直方向的夹角α．
（3）由拉力的关系可以判断出小车的速度最大时，小球在小车的正下方，由机械能守恒与动量守恒求出二者的速度，然后将小球的运动沿水平方向与竖直方向分解即可求出．

解答 解：（1）小球向下运动的过程中机械能守恒，由机械能守恒定律可知：mgL=$\frac{1}{2}$mv²；
物体在最低点的速度：v=$\sqrt{2gL}=\sqrt{2×10×0.45}=3$m/s；
小球在最低点时绳子的拉力大小为：F=mg+$\frac{m{v}^{2}}{L}$=1×10+$\frac{1×{3}^{2}}{0.45}$=30N
（3）小球向右到达最高点时，两物体水平速度相等，且小球竖直速度为零；选取向右为正方向，则小车与小球组成的系统的动量守恒，可知：
（M+m）v₁=mv；
v₁=$\frac{mv}{M+m}=\frac{1×3}{1+2}=1$m/s；
设小球在最高点时上升的高度为△h，如图：

由小车与小球组成的系统的机械能守恒，得：$\frac{1}{2}m{v}^{2}=\frac{1}{2}（M+m）{v}_{1}^{2}+mg△h$
由几何关系得：$cosα=\frac{L-△h}{L}$
代入数据得：$cosα=\frac{1}{3}$
（3）小车的速度最大时，绳子对小车的拉力一定沿竖直方向，所以小球在小车的正下方，设此时小球的速度为v₂，小车的速度为v₃，
由于小车与小球组成的系统水平方向的动量守恒，由动量守恒定律得：mv₁=mv₂+Mv₃
由小车与小球组成的系统的机械能守恒得：$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}=\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}+\frac{1}{2}M{v}_{3}^{2}$
分离后小球做平抛运动，水平方向：s=v₂t
竖直方向：h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
所以滑轨的高度：H=h+L
代入数据联立得：H=5.45m
答：（1）小球经过O点正下方的B点时，绳的拉力大小是30N；
（2）若小球向右摆动到最高点后，绳与竖直方向的夹角为α，cosα的数值是$\frac{1}{3}$；
（3）若小车速度最大时剪断细绳，小球落地，落地位置与小球剪断细绳时的位置间的水平距离s=1m，滑轨距地面的高度是5.45m．

点评 本题为机械能守恒及动量守恒相结合的题目，要注意虽然整体动量不守恒，但水平方向不受外力，故水平方向动量守恒；同时明确小球在最高点时，小球的竖直速度为零，水平速度与小车相同．