Question

15．如图所示，一质量为M=4.0kg的平板车静止在粗糙水平地面上，其右侧某位置有一障碍物A，一质量为m=2.0kg可视为质点的滑块，以v₀=10m/s的初速度从左端滑上平板车，同时对平板车施加一水平向右的恒力F使平板车向右做加速运动．当滑块运动到平板车的最右端时，二者恰好相对静止，此时撤去恒力F，小车在地面上继续运动一段距离L=4m后与障碍物A相碰．碰后，平板车立即停止运动，滑块水平飞离平板车后，恰能无碰撞地沿圆弧切线从B点切入光滑竖直圆弧轨道，并沿轨道下滑，测得通过C点时对轨道的压力为86N．已知滑块与平板车间的动摩擦因数μ₁=0.5、平板车与地面间μ₂=0.2，圆弧半径为R=1.0m，圆弧所对的圆心角∠BOD=θ=106°．取g=10m/s²，sin53°=0.8，cos53°=0.6．试求：

（1）AB之间的距离；
（2）作用在平板车上的恒力F大小及平板车的长度．

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律，结合对轨道的压力求出C点的速度，根据动能定理求出B点的速度，对B点的速度进行分解，求出竖直分速度和水平分速度，结合平抛运动的规律求出AB之间的距离．
（2）根据牛顿第二定律求出撤去拉力后的加速度，结合速度位移公式求出物块与平板车达到的共同速度，根据牛顿第二定律和运动学公式，结合相对位移的大小求出平板车的长度，以及拉力的大小．

解答 解：（1）对小物块在C点由牛顿第二定律得，${F}_{N}-mg=m\frac{{{v}_{C}}^{2}}{R}$，
代入数据解得${v}_{C}=\sqrt{33}$m/s．   
 从B到C，由动能定理有：$mgR（1-cos53°）=\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$，
代入数据解得v_B=5m/s，
在B点，由几何关系有：v_y=v_Bsin53°=5×0.8m/s=4m/s，v=v_Bcos53°=5×0.6m/s=3m/s．
从A到B，设小物块作平抛运动的时间为t，则有：v_y=gt得，t=$\frac{{v}_{y}}{g}=\frac{4}{10}s=0.4s$，
则AB之间的水平距离x=vt=3×0.4m=1.2m．
（2）设物块与平板车达共同速度v_共后，物块与平板车一起向右减速滑行，设此过程加速度大小为a，则：$a=\frac{{μ}_{2}（M+m）g}{M+m}={μ}_{2}g=0.2×10m/{s}^{2}$=2m/s²．
由${v}^{2}-{{v}_{共}}^{2}=-2aL$得，代入数据解得v_共=5m/s．
对物块，冲上平板车后做加速度大小为a₁的匀减速运动，对平板车，物块冲上后做加速度大小为a₂的匀加速运动，经时间t₁达共同速度v_共．
依题意对小物块有：${a}_{1}={μ}_{1}g=0.5×10m/{s}^{2}=5m/{s}^{2}$，
由v_共=v₀-a₁t₁得，代入数据解得t₁=1s．
对平板车：v_共=a₂t₁，解得${a}_{2}=\frac{5}{1}m/{s}^{2}=5m/{s}^{2}$，
根据牛顿第二定律得，F+μ₁mg-μ₂（M+m）g=Ma₂，代入数据解得F=22N．
小物块的位移：${x}_{物}=\frac{{v}_{0}+{v}_{共}}{2}{t}_{1}=\frac{10+5}{2}×1m=7.5m$，
平板车的位移：${x}_{车}=\frac{{v}_{共}}{2}{t}_{1}=\frac{5}{2}×1m=2.5m$，
所以小车的长度L=x_物-x_车=7.5-2.5m=5m．
答：（1）AB之间的距离位1.2m；
（2）作用在平板车上的恒力F大小为22N，平板车的长度为5m．

点评 分析清楚滑块在每个过程的运动状态，根据物体的运动的过程来逐个求解，本题中用到了匀变速直线运动、平抛运动和圆周运动的规律，涉及的知识点较多，要求学生要熟练的应用每一部分的知识．