Question

7．一个卫星与中心星体的距离为r，以T表示卫星绕中心星体做圆周运动的周期，又己知中心星体的半径为R，万有引力常量为G，求：
（1）中心天体的质量？
（2）中心天体的密度？

Answer 1

分析 （1）根据万有引力提供向心力求出中心体的质量；
（2）根据密度公式求出中心体的密度

解答 解：（1）设卫星质量为m，中心体质量为M，根据万有引力提供向心力有：$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$
解得：$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$
（3）中心体的密度为：$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}}{\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}}=\frac{3π{r}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}$
答：（1）中心天体的质量$\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$
（2）中心天体的密度$\frac{3π{r}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}$

点评 本题考查万有引力提供向心力，解题的关键是万有引力提供向心力，注意只能求出中心天体的质量．