Question

13．如图所示，xOy坐标系内有匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，x＜0区域内有匀强电场（图中未画出），y轴为电场右边界．磁场中放置一半径为R的圆柱形圆筒，圆心O₁的坐标为（2R，0），圆筒轴线与磁场平行，现有范围足够大的平行电子束以速度v₀从很远处垂直于y轴沿x轴正方向做匀速直线运动射入磁场区，已知电子质量为m，电荷量为e，不考虑打到圆筒表面的电子对射入磁场的电子的影响．
求：（1）x＜0区域内的匀强电场的场强大小和方向；
（2）若圆筒外表面各处都没有电子打到，则电子初速度应满足什么条件？
（3）若电子初速度满足v₀=$\frac{3eBR}{m}$，则y轴上哪些范围射入磁场的电子能打到圆筒上？圆筒表面有电子打到的区域和圆筒表面没有电子打到的区域的面积之比是多少？

Answer 1

分析 （1）电子y轴左侧做匀速直线运动，说明电场力好洛伦兹力平衡，根据平衡条件列式求解；
（2）电子进入磁场做匀速圆周运动，轨迹为半圆，临界情况是轨迹与圆筒相切；
（3）找出两个临界轨迹，即射入的电子刚好擦过圆筒，轨迹与圆筒上侧相切，以及与圆筒下侧相切，作出临界图，结合几何关系进行求解，得到圆筒表面有电子打到的区域和圆筒表面没有电子打到的区域的面积之比．

解答 解：（1）由题意可得在x＜0区域内，平行电子束做匀速直线运动，
所以有Ee=ev₀B                                    
解得E=v₀B    方向沿y轴负方向                   
（2）如图所示，设电子进入磁场回旋轨道半径为r，
则   ev₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$，
若没有电子打到圆筒表面，则r＜R     
可解得v₀＜$\frac{BeR}{m}$       
（3）根据ev₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$，v₀=$\frac{3eRB}{m}$    
 解得r=3R              
大量电子从y轴上不同点进入磁场，轨迹如图，从O上方P点射入的电子刚好擦过圆筒                                  
OO₂=$\sqrt{{O}_{1}{{O}_{2}}^{2}-O{{O}_{1}}^{2}}$=$\sqrt{16{R}^{2}-4{R}^{2}}$=2$\sqrt{3}$R　                             
OP=OO₂+r=（3+2$\sqrt{3}$）R                           
同理可得到O距下方Q点的距离OQ=（2$\sqrt{3}$-3）R           
y轴上坐标为[-（2$\sqrt{3}$-3）R，（3+2$\sqrt{3}$）R]区域内射入的电子能打到圆筒上，由图可知，圆弧ABC                         
对应的表面有电子打到的区域对应的角为240°         
所以圆筒表面有电子打到的区域和圆筒表面没有
电子打到的区域的面积之比为2：1
答：（1）x＜0区域内的匀强电场的场强大小为v₀B，方向沿y轴负方向；
（2）电子初速度应满足v₀＜$\frac{BeR}{m}$．
（3）从y轴上[R，7R]范围射入磁场的电子能打到圆筒上，电子打到的区域的面积之比为2：1．

点评 本题关键是明确粒子的运动规律，画出临界轨迹是关键，然后根据洛伦兹力提供向心力列式分析，较难