Question

5．如图所示，两根足够长的光滑金属平行导轨，导轨平面与水平面的夹角为30°，上端连接电阻R=4Ω，空间有垂直于导轨平面的匀强磁场，磁感应强度B=1T．一根与导轨接触良好的质量m=0.2Kg，长度L=1m，电阻r=1Ω的金属棒MN有静止开始沿导轨下滑．求：（金属导轨的电阻忽略不计，g取10m/s²）
（1）标出金属棒MN的电流方向；
（2）金属棒MN所达到的最大速率；
（3）在金属棒的速率最大时，MN两端的电压．

Answer 1

分析 （1）由右手定则判断金属棒MN的电流方向．
（2）分析棒的运动情况：开始阶段，棒的重力沿斜面向下的分力大于安培力，棒做加速运动，随着速度增大，棒所受的安培力增大，加速度减小，则棒做加速度减小的变加速运动；当重力沿斜面向下的分力与安培力平衡时，棒做匀速运动，速度达到最大．根据E=BLv、I=$\frac{E}{R+r}$、F=BIL，推导出安培力的表达式，由平衡条件可求出最大速度．
（3）由上求出感应电流，由欧姆定律求解MN两端的电压．

解答 解：（1）由右手定则判断知，金属棒MN的电流方向由N→M．
（2）金属棒MN匀速下滑时速度最大，设最大速度为v．
则感应电动势 E=BLv
感应电流 I=$\frac{E}{R+r}$
棒所受安培力 F=BIL
则得 F=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R+r}$
由平衡条件得 mgsin30°=F
联立解得 v=$\frac{mg（R+r）sin30°}{{B}^{2}{L}^{2}}$=$\frac{2×（4+1）×0.5}{{1}^{2}{×1}^{2}}$=5m/s
（3）在金属棒的速率最大时，MN两端的电压 U=$\frac{R}{R+r}$BLv=$\frac{4}{4+1}$×1×1×5V=4V
答：
（1）标出金属棒MN的电流方向如图；
（2）金属棒MN所达到的最大速率是5m/s；
（3）在金属棒的速率最大时，MN两端的电压是4V．

点评 解决本题的关键要推导出安培力与速度关系式 F=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R+r}$．求最大速度也可以根据能量守恒列式：mgvsin30°=$\frac{（BLv）^{2}}{R+r}$．