Question

3．如图所示，竖直放置的质量为4m，长为L的圆管顶端塞有一个质量为m的弹性圆球，球可以看成质点，球和管间的滑动摩擦力和最大静摩擦力大小均为4mg．圆管从下端离地面距离为H处自由落下，落地后向上弹起的速度与落地时速度大小相等．求：
（1）圆管弹起后，圆管和圆球各做什么运动？加速度分别为多少？
（2）圆管弹起后要使得圆球不致从圆管中滑落，圆管的长度L应满足什么条什？

Answer 1

分析 （1）由运动学公式求出圆管底端落地前瞬间的速度．根据牛顿第二定律分别求出管反弹后，球和管的加速度；
（2）根据v₀²=2gH求出圆管底端落地前瞬间的速度．根据牛顿第二定律分别求出管反弹后，球和管的加速度，从而得知球相对于管的加速度，以管为参考系，根据速度位移公式求出球相对于管静止时的相对位移，即可求解；

解答 解：（1）球与管第一次碰地前瞬间速度为：${v}_{0}=\sqrt{2gH}$
碰后，管受重力及向下的摩擦力为：4mg+f=4ma_管
球受重力及向上的摩擦力为：f-mg=ma_球
其中f=4mg
所以 a_管=2g，方向向下   a_球=3g，方向向上
（2）取竖直向下的方向为正方向，取管为参照物，则球与管相对静止前，球相对管的加速度a_相=5g，方向向上．
碰地后瞬间管的速度${v}_{管}=-\sqrt{2gH}$，方向向上；球的速度${v}_{球}=\sqrt{2gH}$，方向向下，
球相对于管的速度为：${v}_{粗}=2\sqrt{2gH}$，方向向下．
球相对管下滑的距离为：${s}_{粗1}=\frac{{v}_{相}^{2}}{2{s}_{相}}=\frac{（2\sqrt{2gH}）^{2}}{2×5g}=\frac{4}{5}H$L
要满足球不滑出圆管，则有$＞\frac{4}{5}H$
答：（1）圆管弹起后，圆管向上匀减速运动，圆球向下匀加速运动，加速度分别为3g、2g
（2）圆管弹起后要使得圆球不致从圆管中滑落，圆管的长度L应满足$L＞\frac{4}{5}H$

点评 本题的难点在于管和球的运动情况难于判断，关键通过计算理清球和管的运动规律，结合牛顿第二定律和运动学公式进行求解．