Question

6．如图所示，直线MN的下方有竖直向下的匀强电场，场强大小为E=700V/m．在电场区域内有一个平行于MN的挡板PQ；MN的上方有一个半径为R=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$m的圆形弹性围栏，在围栏区域内有图示方向的匀强磁场，磁感应强度大小为B=16.28T．围栏最低点一个小洞b，在b点正下方的电场区域内有一点a，a点到MN的距离d₁=45cm，到PQ距离d₂=5cm．现将一个质量为m=0.1g，带电量q=2×10^-3C的带正电小球（重力不计），从a点由静止释放，在电场力作用下向下运动与挡板PQ相碰后电量减少到碰前的0.8倍，且碰撞前后瞬间小球的动能不变，不计小球运动过程中的空气阻力以及小球与围栏碰撞时的能量损失，试求：（已知1.25¹⁰=9.31，1.25¹¹=11.628）
（1）求出小球第一次与挡板PQ相碰后向上运动的距离；
（2）小球第一次从小洞b进入围栏时的速度大小；
（3）小球从第一次进入围栏到离开围栏经历的时间．

Answer 1

分析 （1）、在与挡板PQ相碰碰撞时没有能量损失，只有电量损失．所以每碰一次，回弹的高度都会增加．向下运动时，电场力做正功，向上运动时，电场力做负功．由能量关系可求出第一次碰撞后小球向上运动的高度．
（2）、通过第一问的解题方法，表示出碰撞n次时，小球上升的高度x_n，如果满足x_n＞d₁+d₂，小球即可进入圆形磁场区域，由动能定理即可求出此时进入磁场区域的速度．
（3）、因第二问已求出进入磁场的速度，小球在磁场中做圆周运动，即可求出小球的轨道半径和周期，通过几何关系求出小球的偏转角，从而判断碰撞的次数．

解答 解：（1）设小球第一次与挡板相碰后向上运动距离为x₁，则
qEd₂=0.8qEx₁       
x₁=1.25d₂=6.25（cm）     
（2）设第n次与挡板PQ相碰后向上运动距离为x_n，则：0.8ⁿqEx_n=qEd₂
要使小球能进入围栏，应有：
x_n＞d₁+d₂
综上：1.25ⁿ＞10
所以：当小球与挡板碰撞11次后，小球将第一次进入围栏内    
设进入速度大小为v，则应有：$qE{d_2}-{0.8^{11}}qE（{d_1}+{d_2}）=\frac{1}{2}m{v^2}$
解得：v=14（m/s）       
（3）小球进入圆形围栏后，在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，如图所示$q'vB=m\frac{v^2}{r}$   
 所以轨道半径 $r=\frac{mv}{q'B}=0.5$（m）   
运动周期 $T=\frac{2πr}{v}=\frac{π}{14}$（s）
图中 $tanθ=\frac{r}{R}=\frac{0.5}{0.866}$所以 θ=30°        
即，当小球每转过120°圆周就与围栏碰撞一次，最终经过5次碰撞，从小洞b离开围栏区，
故在围栏内运动时间为：$t=6×\frac{1}{3}T=\frac{π}{7}$（s）=0.45s           
答：（1）求出小球第一次与挡板PQ相碰后向上运动的距离为6.25cm．
（2）小球第一次从小洞b进入围栏时的速度大小为14m/s．
（3）小球从第一次进入围栏到离开围栏经历的时间$\frac{π}{7}$．

点评 解决此种类型的题，对于过程的分析成了解决问题的关键，在各个过程中要分析清楚变化的量和不变的量．根据对过程的分析，画出草图，充分利用相关的几何知识来解决问题．该题还考察了边界问题，要注意分析磁场边界对运动轨迹的影响．