Question

15．如图所示，在O点放一个正电荷，在过O点的竖直平面内的A点，自由释放一个带正电的小球，小球的质量为m、电荷量为q．小球落下的轨迹如图中虚线所示，它与以O为圆心、R为半径的圆（图中实线表示）相交于B、C两点，O、C在同一水平线上，∠BOC=30°，A距离OC的竖直高度为h．若小球通过B点的速度为v，试求：
（1）小球通过C点的速度大小．
（2）小球由A到C的过程中电场力做了多少功；
（3）小球由A到C机械能的损失．

Answer 1

分析 球下落过程中，受到重力和电场力，由于B、C两点处于同一等势面上，故从B到C过程电场力做功为零；根据电场力做功判断电势能的变化情况；根据总功判断动能变化情况．

解答 解：（1）因B、C两点电势相等，小球由B到C只有重力做功，由动能定理得：
   mgRsin30°=$\frac{1}{2}$$m{v}_{C}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}^{2}$   则C点的速度为：v_C=$\sqrt{{v}^{2}+gR}$
（2）由A到C过程，根据动能定理，有：
     W_电+mgh=$\frac{1}{2}\\;\\;m{v}_{C}^{2}$m${v}_{c}^{2}$   
  解得：W_电=$\frac{1}{2}m{v}^{2}+mg（\frac{R}{2}-h）$
（3）由A到C电场力做功为机械能的变化量为：$\frac{1}{2}m{v}^{2}+mg（\frac{R}{2}-h）$
 即减少了：$mg（h-\frac{R}{2}）-\frac{1}{2}m{v}^{2}$
答：（1）小球通过C点的速度大小为$\sqrt{{v}^{2}+gR}$．
（2）小球由A到C的过程中电场力做功为$\frac{1}{2}m{v}^{2}+mg（\frac{R}{2}-h）$
（3）小球由A到C机械能的损失为：$mg（h-\frac{R}{2}）-\frac{1}{2}m{v}^{2}$

点评 本题关键是明确几种功能关系的具体形式：总功是动能变化的量度；电场力做功是电势能变化的量度；除重力外其余力做的功是机械能变化的量度