题目内容

8．如图所示，虚线MO与水平线PQ相交于O，二者夹角θ=30°，在MO左上侧存在电场强度为E、方向竖直向下的匀强电场，MO右下侧某个区域存在磁感应强度为B、垂直纸面向外的匀强磁场（图中未画出），磁场的一条边界在直线MO上，现有一质量为m、电量为+q的带电粒子在纸面内以速度v=$\frac{E}{B}$，且方向与MO成θ角从M点射入磁场，又向左从MO上的D点（图中未画出）射出磁场进入电场，最后到达O点，不计粒子重力．求：
（1）MD的距离L；
（2）粒子从M点运动到O点所用的时间
（3）磁场区域的最小面积．

分析 （1）由几何知识求出粒子轨道半径，由牛顿第二定律求出距离L；
（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，在电场中做类平抛运动，由圆周运动的周期公式与类平抛运动知识求出粒子的运动时间；
（3）由几何知识求出磁场区域的最小面积．

解答 解：（1）粒子的运动轨迹如图所示，

设粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径为R
由牛顿第二定律得：$qBv=\frac{{m{v^2}}}{R}$，
由几何关系得：L=2Rsinθ，
已知：v=$\frac{E}{B}$，
解得：L=$\frac{mE}{{q{B^2}}}$；
（2）设粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期为T，$T=\frac{2πm}{qB}$
由图可知，粒子的初速度的方向与磁场的边界之间的夹角是30°，由运动的对称性可知，粒子在磁场中运动的过程中的偏转角是60°，粒子在匀强磁场中运动时间为t1：${t}_{1}=\frac{60°}{360°}T=\frac{1}{6}T$，
由对称性可知，粒子过MO后方向垂直于电场方向，所以粒子做类平抛运动，设运动的时间为t2，
则：x=vt2
$y=\frac{1}{2}\frac{qE}{m}{t_2}^2$
由几何知识可知：y=xtanθ，
则粒子自M进入磁场至O所用的时间t=t1+t2
代入数据解得：t=$\frac{{（2\sqrt{3}+π）}}{3}\frac{m}{qB}$；
（3）由题意可知，磁场范围的最小面积△S是粒子在磁场中的轨迹与MD所围成的面积．
扇形的面积：$S=\frac{1}{6}π{R^2}$，
三角形的面积为：$S'=\frac{1}{2}{R^2}cos{30^0}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}{R^2}$
又△S=S-S'，
联立得：△S=$（\frac{π}{6}-\frac{{\sqrt{3}}}{4}）\frac{{{m^2}{E^2}}}{{{q^2}{B^4}}}$；
答：（1）MD的距离L=$\frac{mE}{{q{B^2}}}$．
（2）粒子自M点射入磁场至到达O点所用的时间t=$\frac{{（2\sqrt{3}+π）}}{3}\frac{m}{qB}$．
（3）磁场区域的最小面积为：$（\frac{π}{6}-\frac{{\sqrt{3}}}{4}）\frac{{{m^2}{E^2}}}{{{q^2}{B^4}}}$．

点评 做好此类题目的关键是准确的画出粒子运动的轨迹图，利用几何知识求出粒子运动的半径，再结合半径公式和周期公式去分析．

练习册系列答案
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20．在“验证机械能守恒定律”的实验中，打点计时器所用电源频率为50Hz，当地重力加速度的值为9.80m/s2，测得所用重物的质量为1.00kg．

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指出其中没有必要进行的或者操作不恰当的步骤，将其选项对应的字母填在下面的横线上，并改正不恰当的步骤：
没有必要进行的C
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