Question

18．在xOy平面第Ⅰ、Ⅳ象限内，存在沿x轴正方向的匀强电场，在第Ⅱ、Ⅲ象限内，存在垂直于xoy平面的匀强磁场，方向如图所示，磁感应强度B₁=B，两带电粒子a、b同时分别从第Ⅰ、Ⅳ象限的P、Q两点（图中没有标出）由静止释放，经时间 t同时进入匀强磁场中，且第一次经过x轴时恰好都过点M（-$\sqrt{3}$l，0）．粒子a在M点时的速度方向与x轴正方向成60°角，且第一次在第Ⅱ、Ⅲ象限磁场中运动的时间分别为t、4t，不计粒子重力和两粒子间相互作用．求：
（1）磁感应强度B₂的大小；
（2）b粒子在第Ⅲ象限磁场中运动的轨道半径；
（3）若a、b两粒子经过M点时速度之比为2：1，求粒子b释放位置Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）粒子进入磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律和圆周运动规律求出轨迹半径和周期．由几何关系得到粒子运动的圆心角，得到两个粒子在磁场中运动时间之比，即可求得B₂的大小．
（2）粒子a在第二象限的半径 r_a=$\frac{\sqrt{3}l}{sin60°}$=2l．对于两个粒子：在电场中，根据牛顿第二定律、运动学公式得到速度与电场强度的关系，在磁场中，由牛顿第二定律得到轨迹半径与速度的关系，联立解得b粒子在第Ⅲ象限磁场中运动的轨道半径．
（3）根据速度等于弧长与时间之比，求出两个粒子在磁场中的速度之比，求出b粒子在磁场中的速度，由数学知识求出Q的坐标．

解答 解：（1）粒子进入磁场中：Bqv=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，得轨迹半径r=$\frac{mv}{qB}$，周期 T=$\frac{2πr}{v}$=$\frac{2πm}{qB}$
由几何知识可知，a粒子在第二象限运动的圆心角 θ₁=$\frac{2π}{3}$，运动时间 t₁=$\frac{1}{3}{T}_{1}$
在第三象限运动的圆心角 θ₂=$\frac{4π}{3}$，运动时间 t₂=$\frac{2}{3}{T}_{2}$
由题意可知：t₂=4t₁
所以有 B₂=$\frac{B}{2}$
（2）粒子a在第二象限的半径 r_a=$\frac{\sqrt{3}l}{sin60°}$=2l
电场中：Eq=ma=m$\frac{v}{t}$   ①
磁场中：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$ ②
由①②联立得 r=$\frac{Et}{B}$
则得粒子b在第三象限的半径 r_b=2r_a=4l
（3）粒子a在磁场中速度 v_a=$\frac{{θ}_{1}{r}_{a}}{t}$=$\frac{4πl}{3t}$
粒子b在磁场中速度 v_b=$\frac{1}{2}{v}_{a}$=$\frac{2πl}{3t}$
Q点坐标：x=$\frac{{v}_{b}t}{2}$=$\frac{πl}{3}$，y=-（4l-$\sqrt{（4l）^{2}-（3l）^{2}}$）=$\sqrt{13}$l-4l
即Q点坐标（$\frac{πl}{3}$，$\sqrt{13}$l-4l）．
答：（1）磁感应强度B₂的大小为$\frac{B}{2}$；
（2）b粒子在第Ⅲ象限磁场中运动的轨道半径为4l；
（3）若a、b两粒子经过M点时速度之比为2：1，粒子b释放位置Q的坐标为（$\frac{πl}{3}$，$\sqrt{13}$l-4l）．

点评 本题中求粒子在磁场中运动的时间，根据t=$\frac{θ}{2π}$T，θ是轨迹对应的圆心角，而轨迹对应的圆心角等于速度的偏向角，这个规律经常用到，要牢固掌握．