Question

9．如图，半径为R（O点为圆心，OC=R）光滑$\frac{1}{4}$圆轨道竖直放置，最高点C的切线水平，一个质量均为m的小球A沿圆轨道外侧运动，通过最高点时对轨道压力为0.75mg，另一个质量为2m 的B球沿圆轨道内侧运动，经过最高点时对轨道压力为16mg，两球可视为质点，试求
（1）A球经过最高点的速度；
（2）B球经过最高点的速度；
（3）A和B两球离开最高点C做平抛运动，求两球落点间的距离．

Answer 1

分析 （1）分析A球受力情况，根据向心力公式可求得A球在最高点的速度；
（2）分析B球的受力情况，根据向心力公式可求得B球在最高点时的速度；
（3）两球均做平抛运动，下落高度相同，根据平抛运动规律可求得两球的落点，则可求得两球间的距离．

解答 解：（1）对A球在最高点由向心力公式可知：
mg-F=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：v=$\sqrt{\frac{（F-mg）R}{m}}$=$\sqrt{\frac{0.25mg}{m}}$=0.5$\sqrt{gR}$；
（2）对B球由向心力公式可得：
16mg+2mg=2m$\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$
解得：v₂=3$\sqrt{gR}$；
（3）小球从C点开始做平抛运动，由平抛运动规律可知：
竖直方向：R=$\frac{1}{2}$gt²；
解得：t=$\sqrt{\frac{2R}{g}}$
水平方向：x=vt
故A球运动的位移x_A=vt=0.5×$\sqrt{gR}$×$\sqrt{\frac{2R}{g}}$=0.5$\sqrt{2}$R；
B球的位移x_B=v₂t=3×$\sqrt{gR}$×$\sqrt{\frac{2R}{g}}$=3$\sqrt{2}$R；
故两球位移的差值为：x_B-x_A=3$\sqrt{2}$R-0.5$\sqrt{2}$R=2.5$\sqrt{2}$R
答：（1）A球经过最高点的速度0.5$\sqrt{gR}$；
（2）B球经过最高点的速度3$\sqrt{gR}$；
（3）两球落点间的距离为2.5$\sqrt{2}$R．

点评 本题考查圆周运动的临界速度及平抛运动的规律，要注意小球在上面时，只能受向上的支持力；而B球在下方，只能受向下的支持力．