Question

16．已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g₀，不考虑地球自转的 影响并假设地球质量分布均匀且密度为ρ₀．假若在地球内部距表面深度为h的某区域存在一半径为r的球形煤炭矿区，设煤炭密度为ρ（小于ρ₀），则由于该煤炭矿区区域的存在，造成的地球该区域表面重力加速度的变化量的最大值是多少．

Answer 1

分析 把地球看成由两部分组成即半径为r的球体和剩余部分组成，物体在地球表面的重力等于半径为r的球体对物体引力和剩余部分对物体引力之和，通过密度的不同，得出重力加速度的变化量的最大值．

解答 解：根据题意把地球看成由两部分组成即半径为r的球体和剩余部分，则有：
$m{g}_{0}=F+G\frac{{M}_{1}m}{（h+r）^{2}}$，
式中F为地球剩余部分对m的作用力，M₁为半径为r的球体质量，应有：
${M}_{1}=\frac{4}{3}π{r}^{3}{ρ}_{0}$，
同理当半径为r的球体空间存在密度为ρ的煤炭时应有：
$mg=F+G\frac{m{M}_{2}}{（h+r）^{2}}$，
${M}_{2}=\frac{4}{3}π{r}^{3}ρ$，
联立解得△g=$\frac{4πG{r}^{3}}{3（r+h）^{2}}（{ρ}_{0}-ρ）$．
答：造成的地球该区域表面重力加速度的变化量的最大值是$\frac{4πG{r}^{3}}{3（r+h）^{2}}（{ρ}_{0}-ρ）$．

点评 解决本题的关键能够正确地建立物理模型，将物体在地球表面的重力等于半径为r的球体对物体引力和剩余部分对物体引力之和，结合密度公式以及密度的差异进行求解．