Question

2．如图所示倾角为θ=30°的平行金属轨道固定在水平面上，导轨的顶端接有定值电阻R，长度与导轨宽度相等的导体棒AB垂直于导轨放置，且保持与导轨由良好的接触．图中虚线1和2之间有垂直导轨平面向上的匀强磁场，现给导体棒沿导轨向上的初速度，使导体棒穿过磁场区域后能继续向上运动到最高位置虚线3，然后沿导轨向下运动到底端．已知导体棒向上运动经过虚线1和2时的速度大小之比为2：1，导体棒沿导轨向下运动由虚线2到1做匀速直线运动，虚线2、3之间的距离为虚线1、2之间距离的2倍，整个运动过程中导体棒所受的摩擦阻力恒为导体棒重力的$\frac{1}{6}$，除定值电阻外其余部分电阻均可忽略，求：
（1）导体棒沿导轨向上运动经过虚线2的速度v₁与沿导轨向下运动经过虚线2的速度v₂的比值；
（2）导体棒沿导轨向上运动刚经过虚线1和刚到达虚线2时的加速度大小之比；
（3）导体棒沿导轨向上运动经过磁场与沿导轨向下运动经过磁场的过程中，定值电阻R上产生的热量之比Q₁：Q₂为多大．

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律及运动学公式可计算出速度v₁、v₂的表达式，进一步可求得v₁：v₂
（2）根据牛顿第二定律结合安培力的计算公式，可求出a₃、a₄的值和两者的比值
（3）由功能关系可求出Q₁、Q2的数学表达式，进一步可求出两者的比值

解答 解：（1）设虚线2、3之间的距离为x，导体棒由虚线2运动到虚线3的过程中，导体棒由虚线2运动到虚线3的过程中加速度大小为a₁、导体棒由虚线3运动到虚线2的过程中加速度大小为a₂，则由牛顿第二定律得：
mgsin30°+$\frac{1}{6}$mg=ma₁
解得：a₁=$\frac{2}{3}\\;g$g
由0-v₁²=2a₁x，可得：v₁=$\sqrt{\frac{4}{3}gx}\\;\$
mgsin30°-$\frac{1}{6}$mg=ma₂
解得：a₂=$\frac{1}{3}\\;g$g
由v₂²=2a₂x，可得v₂=$\sqrt{\frac{2}{3}gx}$
因此v₁：v₂=$\sqrt{2}$：1
（2）设导体棒的长度为L，导体棒沿导轨向上运动经过虚线1时的速度为v₀，加速度大小为a₃，则此时的感应电动势E₁=BLv₀
由闭合电路欧姆定律得，回路中的电流I₁=$\frac{{E}_{1}}{R}=\frac{BL{v}_{0}}{R}$
此时导体棒所受安培力大小为F₁=BI₁L=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{R}$，方向沿导轨向下
由牛顿第二定律得：mgsin30°+$\frac{1}{6}$mg+F₁=ma₃
解得：a₃=$\frac{2}{3}\\;g+\frac{{F}_{1}}{m}$g+$\frac{{F}_{1}}{m}$
由题意可知导体棒由虚线3刚回到虚线2时速度大小为v₂，此时的感应电动势为E₂=BLv₂
回路中的电流I₂=$\frac{{E}_{2}}{R}=\frac{BL{v}_{2}}{R}$
此时导体棒所受安培力的大小为F₂=BI₂L=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{2}}{R}$，方向沿导轨向上
由力的平衡条件可得：mgsin30°=$\frac{1}{6}$mg+F₂
解得：F₂=$\frac{1}{3}$mg=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{2}}{R}$
又因为v₁：v₂=$\sqrt{2}$：1，由题意知v₀：v₁=2：1，可得：v₀：v₂=2$\sqrt{2}$：1
整理可得：a₃=$\frac{2+2\sqrt{2}}{3}\\;g$g
设导体棒刚好到达虚线2时的加速度为a₄，根据牛顿第二定律则有：
mgsin30°+$\frac{1}{6}$mg+$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{1}}{R}$=ma₄
整理可得：a₄=$\frac{2+\sqrt{2}}{3}\\;g$g
解得：a₃：a₄=2$（2+2\sqrt{2}）：（2+\sqrt{2}）$
（3）设虚线1和虚线2之间的距离为d，导体棒沿导轨向上穿过此区域时，由功能关系可知：
mgsin30°d+$\frac{1}{6}$mgd+Q₁=$\frac{1}{2}$mv₀²-$\frac{1}{2}\\;m{v}_{0}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$mv₁²
导体棒由虚线2运动到虚线3的过程中，由功能关系可得：
$\frac{1}{2}\\;m{v}_{0}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$mv₁²=mgsin30°2d+$\frac{1}{6}$mg2d
解得：Q₁=$\frac{10}{3}$mgd
导体棒由虚线2运动到虚线1的过程中，由功能关系可得：
Q₂=W₂=F₂d=$\frac{1}{3}\\;\\;\\;mgd$mgd
解得：Q₁：Q₂=10：1
答：（1）导体棒沿导轨向上运动经过虚线2的速度v₁与沿导轨向下运动经过虚线2的速度v₂的比值为$\sqrt{2}$：1
（2）导体棒沿导轨向上运动刚经过虚线1和刚到达虚线2时的加速度大小之比为2$（2+2\sqrt{2}）：（2+\sqrt{2}）$
（3）导体棒沿导轨向上运动经过磁场与沿导轨向下运动经过磁场的过程中，定值电阻R上产生的热量之比Q₁：Q₂为10：1．

点评 （1）本题考查了牛顿第二定律、运动学公式、感应电动势的计算、闭合电路欧姆定律、安培力的计算、能量守恒定律
（2）本题中运动过程较为复杂，清除每一个过程中导体棒的受力情况是分析的关键