Question

3．如图所示，半径为R的光滑半圆轨道AB竖直固定在一水平光滑的桌面上，轨道最低点B与桌面相切并平滑连接，桌面距水平地面的高度也为R．在桌面上轻质弹簧被a、b两个小球挤压（小球与弹簧不拴接），处于静止状态．已知a球的质量为m₀，a、b两球质量比为2：3．固定小球b，释放小球a，a球与弹簧分离后经过B点滑上半圆环轨道并恰能通过轨道最高点A．现保持弹簧形变量不变同时释放a、b两球，重力加速度取g，求：
（1）释放小球前弹簧具有的弹性势能E_p；
（2）b球落地点距桌子右端C点的水平距离；
（3）a球在半圆轨道上上升的最大高度H．

Answer 1

分析 （1）由竖直平面内做圆周运动的条件求出a经过最高点的速度，由机械能守恒即可求出弹簧的弹性势能；
（2）由动量守恒与机械能守恒求出a与b的速度，由平抛运动即可求出b球落地点距桌子右端C点的水平距离；
（3）由机械能守恒即可求出a球在半圆轨道上上升的最大高度H．

解答 解：（1）设a、b两球的质量为m_a、m_b，由已知得m_a=m₀，m_b=1.5m₀．a球在B点时的速度为v_B，恰能通过半圆环轨道最高点A时的速度为v_A，
则有 ${m}_{a}g={m}_{a}\frac{{v}_{a}^{2}}{R}$    ①
轻弹簧具有的弹性势能释放时全部转化成小球a的机械能，a球从释放到运动至A点过程中机械能守恒，则有
E_p=$\frac{1}{2}{m}_{a}{v}_{a}^{2}+{m}_{a}g•2R=2.5{m}_{a}gR$     ②
（2）以a、b、弹簧为研究对象，弹开时系统动量守恒、能量守恒，a、b的速度分别为v_a、v_b，选取向左为正方向，则有：m_av₁+m_bv₂=0  ③
由机械能守恒得：$\frac{1}{2}{m}_{a}{v}_{1}^{2}+\frac{1}{2}{m}_{b}{v}_{2}^{2}={E}_{p}$    ④
又：a、b两球质量比为2：3
联立解得：v₁=$\sqrt{3gR}$，v₂=$\frac{2\sqrt{3gR}}{3}$   ⑤
b球离开桌面后平抛，R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$     ⑥
水平方向的位移：x=v₂t    ⑦
联立解得：x=$\frac{2\sqrt{6}}{3}R$
（3）设a球上升至最大高度时速度为0，则有：$\frac{1}{2}{m}_{a}{v}_{1}^{2}={m}_{a}gH$，
解得：H=1.5R＞R，可见a球会在某处脱离半圆轨道
设脱离时a球速度为v，脱离位置半径与竖直方向的夹角为α，如图所示
根据圆周运动向心力公式有：${m}_{a}gsinα=\frac{{m}_{a}{v}^{2}}{R}$   ⑧
根据几何关系有cosα=$\frac{H-R}{R}$  ⑨
根据机械能守恒有 $\frac{1}{2}{m}_{a}{v}_{1}^{2}={m}_{a}gH+\frac{1}{2}{m}_{a}{v}^{2}$=10  ⑩
解得H=$\frac{4}{3}R$
答：（1）释放小球前弹簧具有的弹性势能为2.5m_agR；
（2）b球落地点距桌子右端C点的水平距离为$\frac{2\sqrt{6}}{3}R$；
（3）a球在半圆轨道上上升的最大高度H为$\frac{4}{3}R$．

点评 该题涉及的过程比较多，应用的公式多，在解答的过程中尤其要注意的是，开始时a恰好经过圆轨道的最高点，在第二种情况下则不能经过圆轨道的最高点，所以要比较a到达的最大高度会不会大于R．