题目内容
3.如图所示,半径为R的光滑半圆轨道AB竖直固定在一水平光滑的桌面上,轨道最低点B与桌面相切并平滑连接,桌面距水平地面的高度也为R.在桌面上轻质弹簧被a、b两个小球挤压(小球与弹簧不拴接),处于静止状态.已知a球的质量为m0,a、b两球质量比为2:3.固定小球b,释放小球a,a球与弹簧分离后经过B点滑上半圆环轨道并恰能通过轨道最高点A.现保持弹簧形变量不变同时释放a、b两球,重力加速度取g,求:(1)释放小球前弹簧具有的弹性势能Ep;
(2)b球落地点距桌子右端C点的水平距离;
(3)a球在半圆轨道上上升的最大高度H.
分析 (1)由竖直平面内做圆周运动的条件求出a经过最高点的速度,由机械能守恒即可求出弹簧的弹性势能;
(2)由动量守恒与机械能守恒求出a与b的速度,由平抛运动即可求出b球落地点距桌子右端C点的水平距离;
(3)由机械能守恒即可求出a球在半圆轨道上上升的最大高度H.
解答 解:(1)设a、b两球的质量为ma、mb,由已知得ma=m0,mb=1.5m0.a球在B点时的速度为vB,恰能通过半圆环轨道最高点A时的速度为vA,
则有 ${m}_{a}g={m}_{a}\frac{{v}_{a}^{2}}{R}$ ①
轻弹簧具有的弹性势能释放时全部转化成小球a的机械能,a球从释放到运动至A点过程中机械能守恒,则有
Ep=$\frac{1}{2}{m}_{a}{v}_{a}^{2}+{m}_{a}g•2R=2.5{m}_{a}gR$ ②
(2)以a、b、弹簧为研究对象,弹开时系统动量守恒、能量守恒,a、b的速度分别为va、vb,选取向左为正方向,则有:mav1+mbv2=0 ③
由机械能守恒得:$\frac{1}{2}{m}_{a}{v}_{1}^{2}+\frac{1}{2}{m}_{b}{v}_{2}^{2}={E}_{p}$ ④
又:a、b两球质量比为2:3
联立解得:v1=$\sqrt{3gR}$,v2=$\frac{2\sqrt{3gR}}{3}$ ⑤
b球离开桌面后平抛,R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$ ⑥
水平方向的位移:x=v2t ⑦
联立解得:x=$\frac{2\sqrt{6}}{3}R$
(3)设a球上升至最大高度时速度为0,则有:$\frac{1}{2}{m}_{a}{v}_{1}^{2}={m}_{a}gH$,
解得:H=1.5R>R,可见a球会在某处脱离半圆轨道
设脱离时a球速度为v,脱离位置半径与竖直方向的夹角为α,如图所示
根据圆周运动向心力公式有:${m}_{a}gsinα=\frac{{m}_{a}{v}^{2}}{R}$ ⑧
根据几何关系有cosα=$\frac{H-R}{R}$ ⑨
根据机械能守恒有 $\frac{1}{2}{m}_{a}{v}_{1}^{2}={m}_{a}gH+\frac{1}{2}{m}_{a}{v}^{2}$=10 ⑩
解得H=$\frac{4}{3}R$
答:(1)释放小球前弹簧具有的弹性势能为2.5magR;
(2)b球落地点距桌子右端C点的水平距离为$\frac{2\sqrt{6}}{3}R$;
(3)a球在半圆轨道上上升的最大高度H为$\frac{4}{3}R$.
点评 该题涉及的过程比较多,应用的公式多,在解答的过程中尤其要注意的是,开始时a恰好经过圆轨道的最高点,在第二种情况下则不能经过圆轨道的最高点,所以要比较a到达的最大高度会不会大于R.
站序 | 车站 | 车次 | 出发时间 达到时间 | 历时 |
1 | 北京 | T39 | 13:42 ---- | ---- |
2 | 天津 | T39 | 15:18 15:09 | 01:27 当日到达 |
3 | 重庆 | T39 | 16:31 16:29 | 02:47 当日到达 |
A. | 13:40火车速度为零 | |
B. | 15:10火车是运动的 | |
C. | 北京到天津火车一直是匀速直线运动 | |
D. | 根据时刻表数据可以求出火车任意时刻的速度 |
A. | 重力没有反作用力 | |
B. | 作用力与反作用力一定同时产生 | |
C. | 作用力是弹力,反作用力可以是摩擦力 | |
D. | 作用力与反作用力在任何情况下都不能平衡 |
A. | 等于3s | B. | 等于2s | C. | 大于3s | D. | 大于2s小于3s |
A. | 远洋观测船 | B. | 地面指挥中心 | ||
C. | 神舟十一号 | D. | 在天宮二号内穿行的航天员 |
A. | 同一点电荷在A点所受电场力较大 | |
B. | 同一点电荷在B点所受电场力较大 | |
C. | 正电荷在A点所受的电场力方向水平向左 | |
D. | 负电荷在B点所受的电场力方向水平向右 |