题目内容
8．
如图所示，边长l的正方形abcd区域（含边界）内，存在着垂直于区域表面向内的匀强磁场，磁感应强度为B，带点平行金属板MN、PQ间形成了匀强电场（不考虑金属板在其他区域形成的电场），MN放在ad边长，两板左端M、P恰在ab边上，金属板长度、板间距长度均为$\frac{1}{2}$l，S为MP的中点，O为NQ的中点．一带负电的离子（质量为m，电量的绝对值为q）从S点开始运动，刚好沿着直线SO运动，然后打在bc边的中点．（不计离子的重力）求：（1）带点粒子的速度vo；
（2）电场强度E的大小；
（3）如果另一个质量为m，电量为q的正点离子某一时刻从c点沿cd方向射入，在带负电的离子打到bc中点之前与之相向正碰，求该正离子入射的速度v．
分析 （1）由粒子在磁场中的匀速圆周运动，由洛仑兹力充当向心力可求得带电粒子的速度；
（2）粒子在复合场中做匀速直线运动，由平衡关系可求得电场强度；
（3）根据题意及几何知识可求出符合条件的离子轨道半径，由牛顿第二定律求出离子速率．
解答 解：（1）作出粒子的运动轨迹图，如图，由几何关系可知，粒子到达bc的中点时的半径r=$\frac{3l}{8}$；
离子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，
由牛顿第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
解得：v0=$\sqrt{\frac{Bqr}{m}}$=$\sqrt{\frac{3Bql}{8m}}$；
（2）粒子在复合场中做匀速直线运动，则有：
Bqv0=Eq
解得：E=$\frac{B{v}_{0}}{q}$=$\sqrt{\frac{{3B}^{3}l}{8mq}}$
（3）当E，离子轨迹如上图②所示，
根据图示由几何知识可得：rmin=$\frac{L-0.5l}{2}$，
解得：rmin=0.075m，
离子发生正碰，两离子轨迹将内切，如图所示：
设从C进入磁场的离子轨道半径为r′，速率为v′，
由几何知识得：（r′-rmin）2=rmin2+（r′-$\frac{L}{2}$）2，
将L、rmin代入解得：r′=L，
由牛顿第二定律得：qv′B=m$\frac{v{′}^{2}}{r′}$，
解得：v′=$\frac{Bql}{m}$
答：（1）带点粒子的速度vo为$\sqrt{\frac{3Bql}{8m}}$
（2）电场强度E的大小为$\sqrt{\frac{{3B}^{3}l}{4mq}}$；
（3）该正离子入射的速度v$\frac{Bql}{m}$．
点评 本题考查了求离子的速率、电场强度，分析清楚离子运动过程、应用平衡条件、牛顿第二定律即可正确解题，分析清楚离子运动过程、作出其运动轨迹是正确解题题的前提与关键．
如图所示，将质量m=1.0kg的小物块放在长L=3.0m的平板车左端，车的上表面粗糙，物块与车上表面间的动摩擦因数μ=0.6，光滑半圆形固定轨道与光滑水平轨道在同一竖直平面内，直径MON竖直，车的上表面和轨道最低点高度相同，开始时车和物块一起以v0=10m/s的初速度在水平轨道上向右运动，车碰到轨道后立即停止运动，取g=10m/s2，求：
如图所示，AB、CD、PS、MN各边界相互平行，OO′垂直边界且与PS和MN分别相交于G和O′点，AB、CD、CD、PS和PS、MN的间距分别为2L、3L和$\frac{9}{4}$L．AB、CD间存在平行边界的匀强电场，CD、PS间无电场，PS、MN间存在固定在O′点的负点电荷Q形成的电场区域．带正电的粒子以初速度v0从O点沿直线OO′飞入电场，粒子飞出AB、CD间的电场后经过CD、PS间的无电场区域后，进入PS、MN间，最后打在MN上．已知匀强电场的电场强度E与粒子质量m、电荷量q的关系为E=$\frac{3mv_0^3}{8qL}$，负点电荷的电荷量Q=-$\frac{{125E{L^2}}}{8k}$（k为静电
水平面内固定一U形光滑金属导轨，轨道宽d=2m，导轨的左端接有R=0.3Ω的电阻，导轨上放一阻值为R0=0.1Ω，m=0.1kg的导体棒ab，其余电阻不计，导体棒ab用水平轻线通过定滑轮连接处于水平地面上质量M=0.3kg的重物，空间有竖直向上的匀强磁场，如图所示．已知t=0时，B=1T，L=1m，此时重物上方的连线刚刚被拉直．从t=0开始，磁感应强度以 0.1T/s均匀增加，取g=10m/s2．求：
一长为l的薄壁试管处于空气中，现将试管开口向下插入水中，平衡时试管内外水面高度差为h，如图所示，今用竖直向下的力缓慢地将试管保持倒立压入水中，已知外界大气压强为p0，水的密度为ρ，水足够深，且水温处处相同，当试管中气体下端与睡眠的距离超过某一值，试管将不再需要下压的力而自动下沉，求这个值．
高台滑雪以其惊险刺激而闻名，运动员在空中的飞跃姿势具有很强的观赏性．某滑雪轨道的完整结构可以简化成如图所示的示意图．其中AB段是助滑雪道，倾角α=30°，BC段是水平起跳台，CD段是着陆雪道，AB段与BC段圆滑相连，DE段是一小段圆弧（其长度可忽略），在D、E两点分别与CD、EF相切，EF是减速雪道，倾角θ=37°．轨道各部分与滑雪板间的动摩擦因数均为μ=0.25，图中轨道最高点A处的起滑台距起跳台BC的竖直高度h=10m．A点与C点的水平距离L1=20m，C点与D点的距离为32.625m．运动员连同滑雪板的质量m=60kg，滑雪运动员从A点由静止开始起滑，通过起跳台从C点水平飞出，在落到着陆雪道上时，运动员靠改变姿势进行缓冲使自己只保留沿着陆雪道的分速度而不弹起．除缓冲外运动员均可视为质点，设运动员在全过程中不使用雪杖助滑，忽略空气阻力的影响，取重力加速度g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8．求：