Question

19．某三棱镜的横截面是一直角三角形，如图所示，∠A=90°，∠B=30°，∠C=60°，棱镜材料的折射率为n，底面BC涂黑，一束单色光以与底面BC平行的方向射向AB面，经AB面和AC面两次折射后射出棱镜．
（ i）若n=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，求光线从AC面上射出时的折射角；
（ ii）为使上述入射光线能从AC面射出，求折射率n的最大值．

Answer 1

分析 （i）先根据折射定律求得光线从AB面上的折射角，结合几何关系求出折射光线射到AC面时的入射角，再由折射定律求光线从AC面上射出时的折射角；
（ii）要使光线能够从AC面上射出，入射角应小于临界角1，根据临界角公式sinC=$\frac{1}{n}$和几何关系结合求出折射率的最大值．

解答 解：（i）第一次在AB面折射时，有：$\frac{sini}{sinα}$=n=$\frac{\sqrt{6}}{2}$
第二次在AC面折射时，有：$\frac{sinγ}{sinβ}$=n=$\frac{\sqrt{6}}{2}$

由几何知识得：$α+β=\frac{π}{2}$ 
于是得：α=$\frac{π}{4}$，β=$\frac{π}{4}$
解得第二次折射角：γ=$\frac{π}{3}$
（ii）设临界角为C₀，则 sinC₀=$\frac{1}{n}$
要使光线能从AC边射出，须满足 β≤C₀，即：sinβ≤sinC₀=$\frac{1}{n}$
则cosα≤$\frac{1}{n}$，即sinα=$\sqrt{1-co{s}^{2}α}$≥$\frac{\sqrt{{n}^{2}-1}}{n}$
又sinα=$\frac{sini}{n}$=$\frac{\sqrt{3}}{2n}$，则 $\frac{\sqrt{3}}{2n}$≥$\frac{\sqrt{{n}^{2}-1}}{n}$
解得 n≤$\frac{\sqrt{7}}{2}$，故折射率的最大值为$\frac{\sqrt{7}}{2}$
答：
（i）若n=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，光线从AB面上射出时的折射角是$\frac{π}{3}$；
（ii）为使上述入射光线能从AC面射出，折射率n的最大值为$\frac{\sqrt{7}}{2}$．

点评 本题考查了折射定律和全反射条件的基本运用，关键要作出光路图，运用折射定律、临界角公式sinC=$\frac{1}{n}$和几何关系结合进行研究．