Question

19．如图所示，用折射率n=$\sqrt{2}$的玻璃做成一个外径为R的半球形空心球壳．一束与O′O平行的平行光射向此半球的外表面，若让一个半径为$\frac{\sqrt{2}}{2}$R的圆形遮光板的圆心过O′O轴，并且垂直该轴放置．则球壳内部恰好没有光线射入，问：
①临界光线射人球壳时的折射角θ₂为多大？
②球壳的内径R'为多少？

Answer 1

分析 ①根据几何关系求出临界光线射入球壳时入射角的正弦，结合折射定律求出折射角的大小．
②根据全反射的条件，通过折射定律求出临界角的大小，从而根据正弦定理求出球壳的内径R′．

解答 解：（1）由题图和几何知识得：sinθ₁=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}R}{R}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，θ₁=45°
由折射率的定义式为：n=$\frac{sin{θ}_{1}}{sin{θ}_{2}}$
联立解出得：θ₂=30°
（2）对临界光线为：sinC=$\frac{1}{n}$
在题图△oab中，由正弦定理得：
   $\frac{R}{sin（180°-C）}$=$\frac{R′}{sin{θ}_{2}}$
联立解得：R′=$\frac{\sqrt{2}}{2}$R．                                               
答：（1）临界光线射入球壳时的入射角θ₁和折射角θ₂分别为45°和30°．
（2）球壳的内径R′为$\frac{\sqrt{2}}{2}$R．

点评 本题是折射定律、临界角和几何知识的综合应用，作出光路图是基础，要灵活运用数学知识帮助解决物理问题．