Question

2．如图甲所示，质量为M=1.0kg的平板小车C静止在光滑的水平面上，在t=0时，质量为2.0kg的A物块与质量为1.0kg的B物块同时从左右两端水平冲上小车，1.0s内它们的v-t图象如图乙所示，（ g取10m/s²）求：
（1）物块A和B与平板小车之间的动摩擦因数μ_A、μ_B
（2）判断小车在0～1.0s内所做的运动，并说明理由？
（3）要使A、B在整个运动过程中不会相碰，车的长度至少为多少？

Answer 1

分析 （1、2）先根据v-t图象的斜率等于加速度，求出A、B的加速度大小，再根据牛顿第二定律求出A、B的合力，从而得知A、B所受的摩擦力大小，再根据滑动摩擦力公式求出动摩擦因数，最后根据牛顿第三定律，求出小车C所受的合力，即可判断其状态．
（3）先研究0-1s内三个物体的位移，再研究t=1s后三个物体的加速度，由位移公式求得三者共速时的位移，得到相对位移，即可求得车的最小长度．

解答 解：（1）由v-t图可知，在0-1s内，物体A、B的加速度大小相等，均为 a=$\frac{△v}{△t}$=$\frac{3}{1}$=3.0m/s²．
根据牛顿第二定律得：
对A有：μ_Am_Ag=m_Aa_A    
对B有：μ_Bm_Bg=m_Ba_B    
可得 μ_A=μ_B=0.3
（2）0-1.0s内，物体A、B所受的滑动摩擦力大小分别为  f_A=m_Aa_A=2×3=6N，方向水平向左．
f_B=m_Ba_B=1×3=3N，方向水平向右
所以小车C所受的摩擦力 f_C=f_A-f_B=3N，方向水平向右，
因此小车C向右做匀加速直线运动．
（3）0-1s内，小车C向右做匀加速直线运动，加速度为 a_C=$\frac{{f}_{C}}{M}$=$\frac{3}{1}$=3m/s²．
通过的位移 x_C=$\frac{1}{2}{a}_{C}{t}_{1}^{2}$=$\frac{1}{2}×3×{1}^{2}$=1.5m
t=1s末C的速度为 v_C=a_Ct₁=3×1=3m/s
在0-1s内A、B的位移分别为 x_A=$\frac{{v}_{A0}+v}{2}{t}_{1}$=$\frac{6+3}{2}×1$=4.5m
x_B=$\frac{{v}_{B0}+v}{2}{t}_{1}$=$\frac{3+0}{2}×1$m=1.5m
由图知：t=1s时A、C的速度相同，之后AC一起向右做匀减速运动，加速度为 a_AC=$\frac{{μ}_{B}{m}_{B}g}{M+{m}_{A}}$=$\frac{0.3×1×10}{1+2}$=1m/s²．
设再经过时间t₂三者速度相同，共同速度为v′，则有
  v′=v-a_ACt′=a_B t′
解得 t′=$\frac{3}{4}$s，v′=$\frac{9}{4}$m/s
从t=1s到共速的过程，AC的位移为 x_AC=$\frac{v+v′}{2}{t}_{2}$=$\frac{3+\frac{9}{4}}{2}×\frac{3}{4}$=$\frac{63}{32}$m
B的位移为 x_B′=$\frac{v′}{2}{t}_{2}$=$\frac{\frac{9}{4}}{2}×\frac{3}{4}$=$\frac{27}{32}$m
故要使A、B在整个运动过程中不会相碰，车的长度至少为 L=（x_A-x_C）+（x_B+x_C）+（x_AC-x_B′）
解得 L=7.125m
答：
（1）小物体A和B与平板小车之间的动摩擦因数μ_A、μ_B都为0.3；
（2）小车向右做匀加速直线运动；
（3）要使A、B在整个运动过程中不会相碰，车的长度至少为7.125m．

点评 本题的关键要理清物体的运动情况，运用牛顿第二定律和运动学公式逐段研究，第3问也可以根据动量守恒定律求出A、B、C系统共同的速度，再根据能量守恒定律求出A、B的相对位移，从而求出车子的最小长度．