Question

20．长为L的轻杆一端安在光滑固定转动轴O上，另一端固定有一只质量为m的小球A（视为质点）．给小球一个初速度，使它在竖直面内绕O做圆周运动，已知：当小球到达最高点时，小球对杆的压力大小为小球重力的$\frac{1}{4}$；小球通过最低点时速度大小为$\frac{\sqrt{19gL}}{2}$．求：
（1）小球通过最高点时的速率v．
（2）小球通过最低点时对杆的拉力大小F．

Answer 1

分析 （1）小球通过最高点时，受重力和杆的支持力作用，杆的支持力和重力和合力提供向心力，根据牛顿第二定律求解速率v．
（2）小球通过最低点时，由杆的拉力和重力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律求解拉力F．

解答 解：（1）小球在最高点的受力如图：小球在最高点的向心力由mg和N的合力来提供，由牛顿第二定律得：
mg-N=m$\frac{{v}^{2}}{L}$
据题有：N=$\frac{1}{4}$mg
解得：v=$\frac{\sqrt{3gL}}{2}$
（2）小球在最低点时，杆对小球的拉力为F′，受力如图．同理由牛顿第二定律得：
F′-mg=m$\frac{v{′}^{2}}{L}$
又 v′=$\frac{\sqrt{19gL}}{2}$
得：F′=5.75mg
由牛顿第三定律可知，小球对杆的拉力大小为：
F=F′=5.75mg
答：（1）小球通过最高点时的速率v是$\frac{\sqrt{3gL}}{2}$．
（2）小球通过最低点时对杆的拉力大小F是5.75mg．

点评 解答竖直平面内圆周运动的问题，关键通过分析受力，确定向心力的来源，运用牛顿第二定律求解．