Question

6．如图甲所示．竖直放置的金属板A、B中间开有小孔，小孔的连线沿水平放置的金属板C、D的中间线．粒子源P可以连续地产生质量为m、电荷量为q的带正电粒子（初速不计），粒子在A、B间被加速后．再进入金屑板C、D间偏转并均能从此电场中射出．已知金属板A、B间电压为U₀，金属板C、D间电压为$\frac{2}{3}$U₀．C、D板长度均为L，间距为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$L，在金属板C、D右侧有如图乙所示的匀强磁场，其中B₀=$\sqrt{\frac{{24m{U_0}}}{{q{L^2}}}}$，（磁场变化周期未知），粒子重力不计．

（1）求粒子离开偏转电场时的速度大小；
（2）设垂直纸面向里的磁场方向为正方向，t=$\frac{T}{2}$时刻粒子进入磁场，t=$\frac{3T}{4}$时刻该粒子的速度方向恰好竖直向上，求该粒子从射入磁场到离开磁场的总时间t_总．

Answer 1

分析 （1）设粒子进入偏转电场瞬间的速度为v₀，对粒子加速过程由动能定理可以求得v₀，进入偏转电场中，做类平抛运动，根据平抛运动的基本公式及几何关系列式即可求解C、D间的电势差U_CD；设粒子进入磁场时的速度为v，对粒子的偏转过程运用动能定理列式求出速度v大小；
（2）画出粒子在磁场中做圆周运动轨迹，分析粒子运动情况，求出粒子每个过程的运动时间，进而求出总时间．

解答 解：（1）设粒子进入偏转电场瞬间的速度为v₀，对粒子加速过程由动能定理：$q{U}_{0}=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得  ${v}_{0}=\sqrt{\frac{2q{U}_{0}}{m}}$
进入偏转电场中，竖直方向的位移：$y=\frac{1}{2}a{t}^{2}$
其中加速度：$a=\frac{q{U}_{cd}}{md}$（式中d=$\frac{\sqrt{3}}{3}$L）          
水平位移与时间关系：L=v₀t
又依题意“恰能从D板下边缘射出”：$y=\frac{\sqrt{3}}{6}$L
设粒子进入磁场时的速度为v，对粒子的偏转过程有$q\frac{{U}_{CD}}{2}=\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得：$v=\sqrt{\frac{8q{U}_{0}}{3m}}$
（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，运动的轨迹如图，周期为：${T}_{1}=\frac{2πm}{qB}=πL•\sqrt{\frac{m}{6q{U}_{0}}}$
设粒子离开电场时的偏转角为θ，则：$tanθ=\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$
解得：θ=30°
粒子在t=$\frac{T}{2}$时刻粒子进入磁场，t=$\frac{3T}{4}$时刻该粒子的速度方向恰好竖直向上，由几何关系可知，轨迹对应的圆心角为：φ=120°；
粒子沿逆时针方向运动经历的时间：${t}_{1}=\frac{3T}{4}-\frac{T}{2}=\frac{T}{4}$到达P点，此过程对应的时间：
${t}_{1}=\frac{T}{4}=\frac{{T}_{1}}{3}$
接着磁场反向，经历的时间：${t}_{2}=\frac{3T}{2}-\frac{3T}{4}=\frac{3T}{4}={T}_{1}$，所以粒子沿顺时针方向运动一个周期 后返回P点，此时磁场再反向，粒子沿逆时针方向偏转，偏转的时间：
${t}_{3}=\frac{37}{4}-\frac{3T}{2}=\frac{T}{4}=\frac{1}{3}{T}_{1}$，粒子恰好到达极板的右侧，所以粒子运动的总时间：
${t}_{总}={t}_{1}+{t}_{2}+{t}_{3}=\frac{1}{3}{T}_{1}+{T}_{1}+\frac{1}{3}{T}_{1}$=$\frac{5}{3}{T}_{1}=\frac{5πl}{18}•\sqrt{\frac{6m}{q{U}_{0}}}$
答：（1）粒子离开偏转电场时的速度大小是$\sqrt{\frac{8q{U}_{0}}{3m}}$；
（2）设垂直纸面向里的磁场方向为正方向，t=$\frac{T}{2}$时刻粒子进入磁场，t=$\frac{3T}{4}$时刻该粒子的速度方向恰好竖直向上，该粒子从射入磁场到离开磁场的总时间是$\frac{5πl}{18}•\sqrt{\frac{6m}{q{U}_{0}}}$．

点评 本题主要考查了动能定理、平抛运动的基本公式的直接应用，要求同学们能够正确分析粒子的运动情况，正确画出粒子运动的轨迹，找出偏转的角度与运动的时间之间的关系．难度适中．