Question

9．如图甲所示，两根完全相同的光滑导轨固定，每根导轨均由两段与水平成θ=30°的长直导轨和一段圆弧导轨平滑连接而成，导轨两端均连接电阻，阻值R₁=R₂=2Ω，导轨间距L=0.6m．在右侧导轨所在斜面的矩形区域M₁M₂P₂P₁内分布有垂直斜面向上的磁场，磁场上下边界M₁P₁、M₂P₂的距离d=0.2m，磁感应强度大小随时间的变化规律如图乙所示．t=0时刻，在右侧导轨斜面上与M₁P₁距离s=0.1m处，有一根阻值r=2Ω的金属棒ab垂直于导轨由静止释放，恰好匀速通过整个磁场区域，取重力加速度g=10m/s²，导轨电阻不计．求：
（1）ab在磁场中运动的速度大小v；
（2）在t₁=0.1s时刻和t₂=0.25s时刻电阻R₁的电功率之比；
（3）电阻R₂产生的总热量Q_总．

Answer 1

分析 （1）根据动能定理求解ab在磁场中运动的速度大小；
（2）分别计算出棒在t₁=0.1s时的感应电动势，根据电路连接情况计算R₁两端的电压；然后再计算出棒在t₁=0.25s时的感应电动势，根据电路连接情况计算R₁两端的电压，根据电功率的计算公式P=$\frac{{U}^{2}}{R}$计算t₁=0.1s时刻和t₂=0.25s时刻电阻R₁的电功率之比；
（3）根据共点力的平衡条件计算ab的质量m，分析导体棒的运动情况，根据焦耳定律计算出电阻R₂产生的总热量．

解答 解：（1）根据动能定理可得：mgs•sinθ=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
解得：v=$\sqrt{2gs•sinθ}$=1m/s；
（2）棒从释放到运动至M₁P₁的时间t=$\frac{v}{gsinθ}$=0.2s，
在t₁=0.1s时，棒还没有进入磁场，有：E₁=$\frac{△Φ}{△t}=\frac{△B}{△t}Ld$=0.6V，
此时R₂与金属棒并联后再与R₁串联，则R_总=$\frac{{R}_{2}r}{{R}_{2}+r}$+R₁=3Ω，
根据欧姆定律可得：U₁=$\frac{{E}_{1}}{{R}_{总}}{R}_{1}$=0.4V，
由图乙可知，t=0.2s后磁场保持不变，ab经过磁场的时间t′=$\frac{d}{v}$=0.2s，
故在t₂=0.25s时，ab还在磁场中运动，电动势E₂=BLv=0.6V，
此时R₁和R₂并联R_总=$\frac{{R}_{1}{R}_{2}}{{R}_{1}+{R}_{2}}+r$=3Ω，
R₁路端电压U′₁=$\frac{1}{2}×\frac{{E}_{2}}{{R}_{总}}×{R}_{1}=0.2V$，
根据电功率的计算公式P=$\frac{{U}^{2}}{R}$可得，
在t₁=0.1s时刻和t₂=0.25s时刻电阻R₁的电功率之比：$\frac{{P}_{1}}{{P}_{2}}=\frac{{U}_{1}^{2}}{{U}_{2}^{2}}=4$：1；
（3）设ab的质量为m，ab在磁场中运动时，通过ab的电流为：I=$\frac{{E}_{2}}{{R}_{总}}$，
ab受到的安培力为：F_A=BIL，
又mgsinθ=BIL，
解得：m=0.024kg，
在t=0～0.2s时间内，R₂两端电压U₂=0.2V，产生的热量为：Q₁=$\frac{{U}_{2}^{2}}{{R}_{2}}t$=0.004J，
ab最终将在M₂P₂下方的轨道区域往返运动，到M₂P₂处的速度为零，根据功能关系可得，
在t=0.2s后整个电路最终产生的热量为：Q=mgdsinθ+$\frac{1}{2}m{v}^{2}$=0.036J，
由电路关系可得R₂产生的热量：Q₂=$\frac{1}{6}Q$=0.006J，
故R₂产生的总热量Q_总=Q₁+Q₂=0.01J．
答：（1）ab在磁场中运动的速度大小为1m/s；
（2）在t₁=0.1s时刻和t₂=0.25s时刻电阻R₁的电功率之比为4：1；
（3）电阻R₂产生的总热量为0.01J．

点评 对于电磁感应问题研究思路常常有两条：一条从力的角度，重点是分析安培力作用下导体棒的平衡问题，根据平衡条件列出方程；另一条是能量，分析涉及电磁感应现象中的能量转化问题，根据动能定理、功能关系等列方程求解．