Question

11．如图所示，由一长度为L=9m的斜面AB，斜面倾角θ=37°，斜面底端B与一绷紧的水平传送带平滑连接，水平传送带足够长，并始终以v=2m/s的速率运动，运动方向如图所示，一物体从斜面顶端A由静止释放，物体与斜面之间的动摩擦因数μ₁=0.5，物体与传送带之间的动摩擦因数为μ₂=0.1，设物体从斜面底端B运动到传送带上的速度大小不变，将物体看做质点，取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8，求
（1）物体运动到斜面底端B时的速度v_B的大小
（2）物体从A到传送带刚好相对静止的过程，所经历的时间t
（3）物体在传送带上相对传送带滑动的距离x．

Answer 1

分析 1．在A到B的过程中，根据牛顿第二定律可求得物体在AB段的加速度，由速度位移公式可求解物体到B点的速度；
2．由于v_B＞v，所以物体在传送带上减速运动直到二者速度相同，根据运动学速度时间公式可求时间；
3．物体在传送带上与传送带相对滑动过程中，分别由运动学公式求出物体和传送带发生的位移，二者之差即相对滑动距离．

解答 解：（1）在A到B的过程中，设物体的加速度为a₁，则：
mgsinθ-μ₁mgcosθ=ma₁          
解得a₁=2m/s²
${{v}_{B}}^{2}=2{a}_{1}L$                    
代入数据得：v_B=6 m/s                    
（2）设物体在斜面上运动时间为t₁，由于v_B＞v，物体在传送带上减速运动，设加速度大小为a₂，滑动时间为t₂，则有：
v_B=a₁t₁                       
在水平传送带上受力分析知
μ₂mg=ma₂                       
由速度关系知v=v_B-a₂t₂                    
总时间t=t₁+t₂                       
联立以上各式得t=7s
（3）物体在传送带上与传送带相对滑动过程中，设物体通过的距离是x₁，传送带通过的距离是x₂，
则 ${x}_{1}={v}_{B}{t}_{2}-\frac{1}{2}{a}_{2}{{t}_{2}}^{2}$
匀速运动位移x₂=vt₂
x=x₁-x₂
联立上式解得x=8m               
答：（1）物体运动到斜面底端B时的速度v_B的大小为6m/s；
（2）物体从A到与刚好相对传送带静止的过程，所经历的时间是7s
（3）物体在传送带上相对传送带滑动的距离为8m．

点评 本题关键分析物体的运动状态，由牛顿第二定律和运动学公式联立列式求解，难度中档．