Question

6．如图所示，足够长的水平导体框架的宽度为L，电阻可忽略不计，左端接一电容为C的电容器．磁感应强度为B的匀强磁场方向垂直于导体框架所在平面竖直向上，一根质量为m、电阻不计的导体棒MN垂直跨放在框架上，导体棒与框架间的动摩擦因数为μ，导体棒在水平力F的作用下由静止开始沿框架以加速度a做匀加速直线运动．求：
（1）导体棒运动t时间电容器所带电荷量q；
（2）水平力F的大小；
（3）时间t内电容器存储的能量E_C．

Answer 1

分析 （1）电容器两端的电压等于导体棒切割磁感线产生的感应电动势，由Q=CU求电容器的电荷量；
（2）根据牛顿第二定律求水平力F的大小；
（3）由能量守恒定律求时间t内电容器存储的能量；

解答 解：（1）导体棒运动t时间，电容器所带的电荷量为q=CE=CBLv=CBLat
（2）对导体棒由牛顿第二定律有$F-f-{F}_{A}^{\;}=ma$
其中f=μmg，${F}_{A}^{\;}=BiL$，$i=\frac{△q}{△t}=CBLa$
得$F=ma+μmg+C{B}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}a$
（3）由能量守恒定律有$Fx=\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}+μmgx+{E}_{C}^{\;}$
其中导体棒的速度v=at，位移$x=\frac{1}{2}a{t}_{\;}^{2}$
解得：${E}_{C}^{\;}=\frac{C{B}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}{a}_{\;}^{2}{t}_{\;}^{2}}{2}$
另解：
克服安培力做的功等于回路消耗的能量，一般闭合回路中为焦耳热，此题中为电容器存储的能量
安培力${F}_{A}^{\;}=C{B}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}a$，位移$x=\frac{1}{2}a{t}_{\;}^{2}$
电容器存储的能量${E}_{C}^{\;}={F}_{A}^{\;}x=\frac{C{B}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}{a}_{\;}^{2}{t}_{\;}^{2}}{2}$
答：（1）导体棒运动t时间电容器所带电荷量q为CBLat；
（2）水平力F的大小为$ma+μmg+C{B}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}a$；
（3）时间t内电容器存储的能量${E}_{C}^{\;}$为$\frac{C{B}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}{a}_{\;}^{2}{t}_{\;}^{2}}{2}$

点评 本题是电磁感应与力学基本知识的综合，分析清楚物体的运动过程，应用E=BLv、牛顿第二定律、能量守恒定律即可正确解题．