Question

1．如图甲所示，弯曲部分AB和CD是两个半径都为0.3m的$\frac{1}{4}$圆弧轨道，中间的BC段是竖直的薄壁细圆管（细圆管内径略大于小球的直径）轨道，分别与上下圆弧轨道相切连接，BC段的长度L为0.2m．下圆弧轨道与水平轨道相切，其中D、A分别是上下圆弧轨道的最高点与最低点，整个轨道固定在竖直平面内．有一质量为0.3kg的小球以一定的速度沿水平轨道向右运动并从A点进入圆弧，不计小球运动中的一切阻力，求：
（1）如果小球从D点以5m/s的速度水平飞出，求落地点与D点的水平距离；
（2）如果小球从D点以5m/s的速度水平飞出，求小球过圆弧A点时对轨道的压力；
（3）如果在D点右侧平滑连接一半径R=0.4m的半圆形光滑轨道DEF，如图乙所示，要使小球不脱离轨道运动，求小球在水平轨道上向右运动的速度大小范围（计算结果可以用根式表示）．

Answer 1

分析 （1）小球从D点以5m/s的速度水平飞出后做平抛运动，由平抛运动的规律可求得落地点与D点的水平距离；
（2）根据机械能守恒定律可求得小球经过A点的速度，在A点，由合力提供向心力，由牛顿定律求小球过圆弧A点时对轨道的压力；
（3）要使小球不脱离轨道，则小球可能由C点返回A点，也可能超过D点后沿DEF轨道回到A点，根据临界条件和机械能守恒定律可求得初速度的范围．

解答 解：（1）小球从D点以5m/s的速度水平飞出后做平抛运动，由平抛运动规律可得：
   h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
据题 h=2R+L=2×0.3m+0.2m=0.8m
代入数据解得 t=0.4s
所以落地点与D点的水平距离 x=v_Dt=5×0.4m=2m； 
（2）由A到D的过程，由机械能守恒定律可得：
   mgh+$\frac{1}{2}$mv_D²=$\frac{1}{2}$mv_A²
在A点，由牛顿第二定律可得：
   N-mg=m$\frac{{v}_{A}^{2}}{R}$；
联立解得 N=44N
由牛顿第三定律知，小球过圆弧A点时对轨道的压力 N′=N=44N
（3）计论一：
小球进入轨道最高运动到C点，之后原路返回，由机械能守恒定律，有：
   mg（R+L）=$\frac{1}{2}$mv₁²
得 v₁=$\sqrt{10}$m/s
讨论二：小球进入轨道后恰好能通过圆弧最高点D，之后沿DEF运动而不脱离轨道，在D点，有
   mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
其中R=0.4m
从A到D由机械能守恒定律可得：
有：mgh+$\frac{1}{2}$mv²=$\frac{1}{2}$mv₂²
得 v₂=2$\sqrt{5}$m/s
所以要使小球在运动过程中能不脱离轨道，初速度大小的范围为：v₁≤$\sqrt{10}$m/s或v₂≥2$\sqrt{5}$m/s
答：
（1）如果小球从D点以5m/s的速度水平飞出，落地点与D点的水平距离为2m
（2）如果小球能从D点以5m/s的速度水平飞出，小球过圆弧A点时对轨道的压力是44N．
（3）要使小球在运动过程中能不脱离轨道，初速度大小的范围是v₁≤$\sqrt{10}$m/s或v₂≥2$\sqrt{5}$m/s．

点评 本题考查机械能守恒定律的应用以及平抛运动规律的应用，要注意正确分析物理过程，正确进行受力分析，再通过平衡条件等选择正确的物理规律列式求解．关键要注意正确选择物理过程和规律．