Question

18．如图所示，一对光滑的平行金属导轨固定在同一水平面内，导轨间距L=0.5m，左端接有阻值R=0.3Ω的电阻，一质量m=0.1kg，电阻r=0.1Ω的金属棒MN放置在导轨上，整个装置置于竖直向上的匀强磁场中，磁场的磁感应强度B=0.2T，棒在水平向右的外力作用下，由静止开始以a=2m/s²的加速度做匀加速运动，当棒的位移x=9m时撤去外力，棒继续运动一段距离后停下来，已知撤去外力前后回路中产生的焦耳热之比Q₁：Q₂=1：2，导轨足够长且电阻不计，棒在运动过程中始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触，求：
（1）棒在匀加速运动过程中，通过电阻R的电荷量q；
（2）金属棒MN做匀加速直线运动所需外力随时间变化的表达式；
（3）外力做的功W_F．

Answer 1

分析 （1）根据电荷量的计算公式q=It结合法拉第电磁感应定律和闭合电路的欧姆定律联立求解电荷量；
（2）由安培力公式和牛顿第二定律得F-BIl=ma结合法拉第电磁感应定律和闭合电路欧姆定律求解；
（3）由运动学公式得v²=2ax求解速度，拉力去掉以后由动能定理列方程求解产生的焦耳热，由功能关系可知W_F=Q₁+Q₂，由此求解外力做的功W_F．

解答 解：（1）棒在匀加速运动中，由法拉第电磁感应定律得$\overline E=\frac{△ϕ}{△t}$
其中△ϕ=Blx
由闭合电路的欧姆定律得$\overline I=\frac{\overline E}{R+r}$
则通过电阻R的电荷量为$q=\overline I•△t$
联立各式，代入数据得q=2.25C；
（2）由法拉第电磁感应定律得E=Blv
对棒的匀加速运动过程，由运动学公式得v=at
由闭合电路的欧姆定律得$I=\frac{E}{R+r}$
由安培力公式和牛顿第二定律得F-BIl=ma
得F=0.2+0.05t；
（3）对棒的匀加速运动过程，由运动学公式得v²=2ax
撤去外力后，由动能定理得$W=0-\frac{1}{2}m{v^2}$
撤去外力后回路中产生的焦耳热Q₂=-W
联立解得Q₂=1.8J
由题意知，撤去外力前后回路中产生的焦耳热之比Q₁：Q₂=1：2，可得Q₁=0.9J
在棒运动的整个过程中，由功能关系可知W_F=Q₁+Q₂
解得W_F=2.7J．
答：（1）棒在匀加速运动过程中，通过电阻R的电荷量为2.25C；
（2）金属棒MN做匀加速直线运动所需外力随时间变化的表达式为F=0.2+0.05t；
（3）外力做的功为2.7J．

点评 对于电磁感应问题研究思路常常有两条：一条从力的角度，重点是分析安培力作用下导体棒的平衡问题，根据平衡条件列出方程；另一条是能量，分析涉及电磁感应现象中的能量转化问题，根据动能定理、功能关系等列方程求解．