题目内容

11．如图所示，以MN为界的两匀强磁场，方向均垂直纸面向里，MN边界上方的磁感应强度B1大于下方的磁感应强度B2，且B2=B0，一质量为m，带正电荷且电量为q的粒子从O点沿图示方向垂直MN进入磁场B1中，不计粒子重力．
（1）若B1=2B0，求带电粒子从O点出发至再次回到O点所需的时间，并画出粒子运动轨迹．
（2）求带电粒子从O点出发后能再次回到O点的所有B1的可能值及其运动过程所用的时间．

分析 （1）粒子在两种磁场中只受洛伦兹力，做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律可知半径${R}_{1}=\frac{1}{2}{R}_{2}$，根据左手定则，分析粒子旋转方向，画出轨迹，根据轨迹确定时间与周期的关系，即可求出粒子重新回到O点的时间；
（2）根据粒子在磁场中做匀速圆周运动画出运动轨迹，根据周期性运动的特点，找出半径间的关系，联立方程求出B1可能值和对应的运动时间；

解答 解：（1）设粒子在磁场B1和B2中圆周运动的半径分别为R1、R2，
               粒子在磁场中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律：$qvB=m\frac{{v}^{2}}{R}$，
               解得：${R}_{1}=\frac{mv}{q{B}_{1}}$，${R}_{2}=\frac{mv}{q{B}_{2}}$，
               当B1=2B0=2B2时，${R}_{1}=\frac{1}{2}{R}_{2}$，
                根据左手定则判断可以知道，粒子在磁场B1中沿逆时针方向旋转，在磁场B2中沿顺时针方向旋转，
                画出粒子运动轨迹如图甲所示：
            
                                        图甲
             粒子在磁场中做圆周运动的周期：$T=\frac{2πR}{v}=\frac{2πm}{qB}$，
              粒子运动的时间应包含两部分，在上半磁场的2个半周期，在下半磁场的半个周期．
              带电粒子从O点出发至再次回到O点所需的时间为：
               ${t}_{1}={T}_{1}+\frac{{T}_{2}}{2}=\frac{2πm}{2q{B}_{0}}+\frac{1}{2}×\frac{2πm}{q{B}_{2}}=\frac{2πm}{q{B}_{0}}$
            （2）画出带电粒子运动的轨迹如图乙所示：
          
                                   图乙
            设A1A2=△x，则△x=2R2-2R1，
            当再一次回到O点时应满足：n△x=2R1，
            解得：$\frac{{R}_{1}}{{R}_{2}}=\frac{n}{n+1}$，
            由$R=\frac{mv}{qB}$得：$B=\frac{mv}{qR}$，
            即：$\frac{{B}_{1}}{{B}_{2}}=\frac{n+1}{n}$，
            故：${B}_{1}=\frac{n+1}{n}{B}_{0}$（n=1，2，3，…）
            根据运动轨迹，在MN上方的B1磁场中有（n+1）个半圆，运动时间：${t}_{1}=\frac{1}{2}（n+1）{T}_{1}=\frac{n+1}{2}•\frac{2πm}{q{B}_{1}}=\frac{nπm}{q{B}_{0}}$
            在MN下方的B2磁场中有n个半圆，运动时间：${t}_{2}=\frac{n}{2}{T}_{2}=\frac{n}{2}•\frac{2πm}{q{B}_{0}}=\frac{nπm}{q{B}_{0}}$
            则带电粒子从O点出发后能再次回到O点的运动时间：
             $t={t}_{1}+{t}_{2}=\frac{2nπm}{q{B}_{0}}$（n=1，2，3，…）
答：（1）带电粒子从O点出发至再次回到O点所需的时间$t=\frac{2πm}{q{B}_{0}}$，运动轨迹如图甲；
      （2）带电粒子能再次回到O点的B1的值为${B}_{1}=\frac{n+1}{n}{B}_{0}$（n=1，2，3，…）
              带电粒子从O点出发后能再次回到O点的运动时间为$t=\frac{2nπm}{q{B}_{0}}$（n=1，2，3，…）

点评 本题考查带电粒子在两个不同磁场区域做交替圆周运动的问题，综合考查带电粒子在磁场中做圆周运动的相关知识及左手定则，准确画出运动轨迹图是解决问题的关键；其中第二问不仅要求能准确画出运动轨迹，而且要从运动轨迹中找出运动的规律，对能力要求较高．

练习册系列答案
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挂在橡皮绳下端的钩码个数橡皮绳下端的坐标（X/mm）
甲乙
1216.5216.5
2246.7232.0
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