Question

【题目】如图甲所示，平行金属板M、N水平放置，板长L=m、板间距离d=0.20m。在竖直平面内建立xOy直角坐标系，使x轴与金属板M、N的中线OO′重合，y轴紧靠两金属板右端。在y轴右侧空间存在方向垂直纸面向里、磁感应强度大小B=5.0×10－3T的匀强磁场，M、N板间加随时间t按正弦规律变化的电压uMN，如图乙所示，图中T0未知，两板间电场可看作匀强电场，板外电场可忽略。比荷=1.0×107C/kg、带正电的大量粒子以v0=1.0×105m/s的水平速度，从金属板左端沿中线OO′连续射入电场，进入磁场的带电粒子从y轴上的 P、Q（图中未画岀，P为最高点、Q 为最低点）间离开磁场。在每个粒子通过电场区域的极短时间内，电场可视作恒定不变，忽略粒子重力，求：

(1) 进入磁场的带电粒子在电场中运动的时间t0及在磁场中做圆周运动的最小半径r0；

(2) P、Q两点的纵坐标yP、yQ；

(3) 若粒子到达Q点的同时有粒子到达P点，满足此条件的电压变化周期T0的最大值。

Answer 1

【答案】(1)3.46×10－6 s；2.0 m；(2) 4.1 m；3.9 m；(3) 2.51×10－4 s

【解析】

(1) 能从右侧离开电场的带电粒子在电场中运动的时间

t0=

代入数据得t0=3.46×10－6 s

t=nT0（n=0、1、2……）时刻射入电场的带电粒子不发生偏转，进入磁场做圆周运动的半径最小。粒子在磁场中运动时有

qv0B=

代入数据解得r0=2.0 m

(2) 设两板间电压为U1时，带电粒子刚好从极板边缘射出电场，则有

q=ma，d=at

代入数据解得U1=V

在电压小于等于V时，带电粒子才能从两板间射出电场，电压大于V时，带电粒子打在极板上，不能从两板间射出。带电粒子刚好从极板边缘射出电场时，速度最大。

设粒子恰好射出电场时速度为v，方向与x轴的夹角为θ，在磁场中做圆周运动的半径为r，则

tan θ=，qvB=

弦长

D=2rcos θ

代入数据解得

θ=30°

则有

D==4.0 m

从极板M边缘射出的带电粒子，在磁场中转过120°，经过P点，则

yP=＋D=4.1 m

从极板N边缘射出的带电粒子，在磁场中转过240°，经过Q点，则

yQ=D－=3.9 m

(3)带电粒子在磁场中做圆周运动的周期T=，粒子到达Q点的同时有粒子到达P点，则这两个粒子开始运动的时间差为，到达Q点的粒子进入磁场的时刻可能是、、、……到达P点的粒子进入磁场的时刻可能是、、、……，当电压变化周期T0有最大值Tm时应满足的关系

－

解得

Tm=×10－4 s=2.51×10－4 s