Question

9．如图所示，正方形区域abcd边长L=8cm，内有平行于ab方向指向bc边的匀强电场，场强E=3750V/m，一带正电的粒子电量q=10^-10C，质量m=10^-20kg，沿电场中心线RO飞入电场，初速度v₀=2×10⁶m/s，粒子飞出电场后经过界面cd、PS间的无电场区域后，进入固定在O点的点电荷Q形成的电场区域，一进入该区域即开始做匀速圆周运动（设点电荷左侧的电场分布以界面PS为界限，且不受PS影响）．已知cd、PS相距12cm，粒子穿过PS最后垂直打在放置于中心线上的荧光屏MN上．（静电力常数k=9×10⁹Nm²/C²，不计粒子所受重力）试求：

（1）粒子穿过界面PS时的速度大小与方向；
（2）点电荷Q的电性及电量大小．

Answer 1

分析 （1）带电粒子垂直进入匀强电场后，只受电场力，做类平抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做匀加速直线运动．由牛顿第二定律求出加速度，由运动学公式求出粒子飞出电场时的侧移y₁；由几何知识求解粒子穿过界面PS时偏离中心线RO的距离y．由运动学公式和速度的合成求出粒子离开电场时的速度大小和方向，由于离开电场后粒子做匀速直线运动，即可得到粒子穿过界面PS时的速度大小与方向；
（2）带电粒子进入界面PS后做圆周运动，最后垂直打在放置于中心线上的荧光屏bc上，由几何知识求得轨迹的半径，根据牛顿第二定律和向心力公式求解点电荷Q的电量大小和电性

解答 解：（1）粒子在正方形区域abcd中做类平抛运动．在RO方向做匀速直线运动，${v_x}={v_0}=2×{10^6}m/s$；
在ab方向做初速度为0的匀加速直线运动．
运动时间 ${t_1}=\frac{L}{v_0}=4×{10^{-8}}s$
$a=\frac{qE}{m}=3.75×{10^{13}}m/{s^2}$
粒子射出dc边界时
v_y=at₁=1.5×10⁶ m/s
v_x=v₀=2×10⁶ m/s
粒子的运动速度为v=$\sqrt{{v_0}^2+{v_y}^2}$=2.5×10⁶ m/s
粒子的速度偏向角的正切为tan?=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$=0.75，?解得θ=37?
粒子飞出电场后在界面cd、PS间的无电场区域做匀速直线运动，所以粒子穿过界面PS时的速度大小为v=2.5×10⁶ m/s，方向与水平方向成37?角斜向右下
（2）粒子由界面ab运动到界面PS的过程中竖直方向上的位移$y=\frac{v_y}{2}{t_1}+{v_y}\frac{L'}{v_0}=0.12m$
由题意，粒子穿过界面PS时速度方向和库仑力方向垂直，库仑力提供向心力．
所以点电荷Q带负电
粒子做圆周运动的半径为R=$\frac{y}{cosθ}$=0.15 m
由    $\frac{kQq}{{R}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R}$    得
Q=$\frac{mR{v}^{2}}{kq}=\frac{1{0}^{-20}×0.15×（2.5×1{0}^{6}）^{2}}{9×1{0}^{9}×1{0}^{-10}}$ C=1.04×10^-8C 
答：（1）粒子穿过界面PS时的速度大小为2.5×10⁶ m/s，方向成37°；
（2）点电荷Q带负电，电量大小为1.04×10^-8C．

点评 本题是类平抛运动与匀速圆周运动的综合，分析粒子的受力情况和运动情况是基础．难点是运用几何知识解出对应的边长