Question

6．如图所示，半径为R的光滑圆形轨道固定在竖直面内．小球A、B质量分别为m、3m．A球从左边某高处由静止释放，并与静止于轨道最低点的B球相撞，碰撞后A球被反向弹回，且A、B球能达到的最大高度均为$\frac{1}{4}$R．重力加速度为g．问：
（1）碰撞刚结束时B球对轨道的压力大小；
（2）若碰撞过程中A、B球组成的系统无机械能损失，求A球刚释放时离B球的高度？

Answer 1

分析 （1）根据机械能守恒定律求出小球碰撞后的速度大小，结合牛顿第二定律求出碰撞后的瞬间对B的支持力，从而得出B球对轨道的压力．
（2）根据动量守恒定律求出A球碰撞前的速度，结合机械能守恒定律求出A球刚释放时离B球的高度．

解答 解：（1）根据机械能守恒定律得，$\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}=mg•\frac{1}{4}R$，
解得${v}_{1}=\sqrt{\frac{gR}{2}}$．
对B，根据牛顿第二定律得，$N-3mg=3m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{R}$，
解得N=$\frac{7mg}{2}$．
根据牛顿第三定律知，碰撞刚结束时B球对轨道的压力大小为$\frac{7}{2}mg$．
（2）规定向右为正方向，在最低点，根据动量守恒定律得，
3mv₁-mv₁=mv，
解得v=$2{v}_{1}=\sqrt{2gR}$，
根据机械能守恒定律得，$mgH=\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
A球刚释放时离B球的高度H=$\frac{{v}^{2}}{2g}=R$．
答：（1）碰撞刚结束时B球对轨道的压力大小为$\frac{7}{2}mg$．
（2）A球刚释放时离B球的高度为R．

点评 本题考查了机械能守恒定律、牛顿第二定律和动量守恒定律的综合运用，知道最低点向心力的来源，碰撞前后瞬间A、B两球动量守恒．