Question

19．如图所示，垂直于纸面分布2个磁感应强度大小均为B=0.5T的匀强磁场，外面是一个外半径为R₂=$\sqrt{3}$m、内半径为R₁=1m的同心环形磁场区域，垂直于纸面向内．中心磁场是一个半径为R₂=1m的圆形磁场区域，垂直于纸面向外，2个磁场的圆心均为O．一对平行极板竖直放置，右极板与环形磁场外边界相切，一带正电的粒子从平行极板下板P点静止释放，经加速后通过右板小孔Q，垂直进入环形磁场区域，已知点P、Q、O在同一水平线上，粒子比荷$\frac{q}{m}$=4×10⁷C/kg，不计粒子的重力，且不考虑粒子的相对论效应．求：
（1）若加速电压U₁=1.25×10²V，则粒子刚进入环形磁场时的速度多大？
（2）要使粒子不能进入中间的圆形磁场区域，加速电压U₂应满足什么条件？
（3）若改变加速电压大小，可使粒子进入圆形磁场区域，且能竖直通过圆心O，则粒子从Q孔进入磁场到第一次经过O点所用的时间为多少．

Answer 1

分析 （1）根据动能定理列式求解即可；
（2）画出粒子恰好不进入中间磁场区的临界轨迹，先根据几何关系求出半径，然后根据洛伦兹力提供向心力列方程，再根据动能定理对直线加速过程列方程，最后联立方程组求解即可；
（3）画出运动轨迹并结合对称性，得到轨迹对应的圆心角，然后求解出时间．

解答 解：（1）在电场中加速由动能定理知：$q{U_1}=\frac{1}{2}mv_0^2$，
代入数据解得：${v_0}=1×{10^5}m/s$．
（2）粒子刚好不进入中间磁场时轨迹如图所示，

设此时粒子在磁场中运动的半径为r₁，在Rt△QOO₁，中有：$r_1^2+R_2^2=（{r_1}+{R_1}{）^2}$，
代入数据解得：r₁=1m，
由qvB=$m\frac{{v}^{2}}{{r}_{1}}$
得：${r}_{1}=\frac{mv}{qB}$，
又由动能定理有：$q{U_2}=\frac{1}{2}mv_{\;}^2$，
代入数据解得：U₂=5×10⁶V；
所以电压满足：${U_2}≤5×{10^6}V$．
（3）轨迹如图，

由于O、O₃、Q共线且水平，又由于粒子在两磁场中的半径相同为r₂，
有O₂O₃=O₂Q=2r₂，
由几何关系∠QO₂O₃=60°，
故粒子从Q孔进入磁场到第一次到O点所用的时间为：
$t=（\frac{1}{6}+\frac{5}{12}）T=\frac{7}{12}T≈1.83×{10^{-7}}s$．
答：（1）粒子刚进入环形磁场时的速率为1×10⁵m/s；
（2）要使粒子能进入中间的圆形磁场区域，加速电压U₂应满足条件为U₂≤5×10⁶V；
（3）子从Q孔进入磁场到第一次经过O点所用的时间为1.83×10^-7s．

点评 本题关键分析清楚带电粒子的运动情况，明确粒子各个阶段的运动规律，然后结合动能定理、牛顿第二定律等规律列式求解．