Question

19．如图所示，M是水平放置的半径足够大的圆盘，绕过其圆心的竖直轴匀速转动，规定经过同心O点且水平向右为x轴正方向．在O点正上方距盘面高h=2.5m处有一个可间断滴水的容器，从t=0时刻开始，容器沿水平轨道向X轴正方向做初速度为零的匀加速直线运动．已知t=0时刻滴下第一滴水，以后每当前一滴水刚好落到盘面时再滴下一滴水．取g=10m/s²．（结果可用根式表示）
（1）求每一滴水从离开容器到滴落至盘面的时间t；
（2）要使每一滴水在盘面上的落点都位于同一直线上，求圆盘的角速度ω应满足的条件；
（3）当圆盘的角速度ω′=$\frac{2\sqrt{2}π}{3}$ad/s时，第二滴水与第三滴水在盘面上落点间的距离d=$\sqrt{97}$m，求容器的加速度a．

Answer 1

分析 （1）离开容器后，每一滴水在竖直方向上做自由落体运动，水平方向做匀加速直线运动，水滴运动的时间等于竖直方向运动的时间，由高度决定；
（2）要使每一滴水在盘面上的落点都位于同一直线上，则圆盘在t秒内转过的弧度为kπ，k为不为零的正整数；
（3）通过匀加速直线运动的公式求出两个水滴在水平方向上的位移，再算出两个位移之间的夹角，根据位移关系算出容器的加速度

解答 解：（1）离开容器后，每一滴水在竖直方向上做自由落体运动．
每一滴水滴落到盘面上所用时间t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$s
    （2）要使每一滴水在盘面上的落点都位于同一直线，则圆盘在t秒内转过的弧度为kπ，k为不为零的正整数．
所以ωt=kπ        
         即ω=kπ$\sqrt{\frac{g}{2h}}$=$\sqrt{2}kπ$，其中k=1，2，3…
    （3）第二滴水离开O点的距离为s₂=$\frac{1}{2}$at²+（at）t…①
           第三滴水离开O点的距离为s₃=$\frac{1}{2}$at²+（a2t）t…②
          （上面①②两式中：t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$…③）
         又△θ=ωt=$\frac{2}{3}$π
      即第二滴水和第三滴水分别滴落在圆盘上x轴方向及垂直x轴的方向上．
所以s₂²+s₃²-2x₂x₃cos△θ=d²…④
     联列①②③④可得：a=4m/s²．
答：（1）每一滴水离开容器后经过$\frac{\sqrt{2}}{2}$s时间滴落到盘面上；
（2）要使每一滴水在盘面上的落点都位于同一直线上，圆盘的角速度ω应为$\sqrt{2}kπ$，其中k=1，2，3…
（3）容器的加速度a为4m/s²．

点评 该题涉及到运动的合成与分解，圆周运动，匀变速直线运动的相关规律，综合性较强，难度较大