Question

4．设地球质量为M，半径为R，自转角速度为ω，引力常量为G，则此同步卫星离地高度为$\root{3}{\frac{GM}{{ω}^{2}}}$-R，此同步卫星的线速度大小为$\root{3}{GMω}$．

Answer 1

分析 在地球表面重力与万有引力相等，同步卫星周期与地球周期相同，同步卫星绕地球做圆周运动的向心力由万有引力提供，由此展开分析．

解答 解：同步卫星的万有引力提供圆周运动向心力有F_万=m（R+h）ω²
即：$\frac{mg{R}^{2}}{（R+h）^{2}}$=m（R+h）ω²
可得：R+h=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}}{{ω}^{2}}}$，
依据黄金代换公式，GM=gR²；
那么此同步卫星离地高度为h=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}}{{ω}^{2}}}$-R=$\root{3}{\frac{GM}{{ω}^{2}}}$-R
据线速度与角速度的关系有v=ωr=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}}{{ω}^{2}}}$•ω=$\root{3}{g{R}^{2}ω}$=$\root{3}{GMω}$，
故答案为：$\root{3}{\frac{GM}{{ω}^{2}}}$-R；$\root{3}{GMω}$．

点评 本题抓住同步卫星的周期与地球自转周期相同，万有引力提供其圆周运动向心力，利用黄金代换分析同步卫星所受万有引力的不同表达式及线速度高度的表达式，难在符号运算学生不太适应．