Question

11．光滑水平面上静止着木块A和B，中间用一轻弹簧连接，A与B的质量为m₁和m₂，一质量为m₀的子弹以速度v₀射中A后留在A中．求：
（1）弹簧被压缩到最短时的弹性势能；
（2）当弹簧再次到达自然长度时A、B的速度．

Answer 1

分析 （1）对子弹和A为系统，结合动量守恒定律求出子弹射入A中的速度，再对子弹、A、B为系统，结合动量守恒定律求出三者的共同速度，弹簧压缩最短时，三者的速度相等，结合能量守恒定律求出弹簧被压缩到最短时的弹性势能；
（2）根据动量守恒定律和能量守恒定律求出弹簧再次到达自然长度时A、B的速度．

解答 解：（1）对子弹和A为系统，规定子弹的速度方向为正方向，根据动量守恒定律得：
m₀v₀=（m₀+m₁）v₁，
解得：${v}_{1}=\frac{{m}_{0}{v}_{0}}{{m}_{0}+{m}_{1}}$，
当弹簧压缩到最短时，三者速度相等，规定子弹的速度方向为正方向，根据动量守恒定律得：
m₀v₀=（m₀+m₁+m₂）v₂，
解得：${v}_{2}=\frac{{m}_{0}{v}_{0}}{{m}_{0}+{m}_{1}+{m}_{2}}$．
根据能量守恒得：${E}_{p}=\frac{1}{2}（{m}_{0}+{m}_{1}）{{v}_{1}}^{2}$$-\frac{1}{2}（{m}_{0}+{m}_{1}+{m}_{2}）{{v}_{2}}^{2}$=$\frac{{{m}_{0}}^{2}{{v}_{0}}^{2}}{2（{m}_{1}+{m}_{0}）}$-$\frac{{{m}_{0}}^{2}{{v}_{0}}^{2}}{2（{m}_{0}+{m}_{1}+{m}_{2}）}$．
（2）再次恢复原长时，根据动量守恒有：（m₀+m₁）v₁=（m₀+m₁）v₁′+m₂v₂′，
根据能量守恒得：$\frac{1}{2}（{m}_{0}+{m}_{1}）{{v}_{1}}^{2}$=$\frac{1}{2}（{m}_{0}+{m}_{1}）{v}_{1}{′}^{2}+\frac{1}{2}{m}_{2}{v}_{2}{′}^{2}$，
联立解得：${v}_{2}′=\frac{{m}_{0}{v}_{0}}{{m}_{2}}$，v₁′=0
答：（1）弹簧被压缩到最短时的弹性势能为$\frac{{{m}_{0}}^{2}{{v}_{0}}^{2}}{2（{m}_{1}+{m}_{0}）}$-$\frac{{{m}_{0}}^{2}{{v}_{0}}^{2}}{2（{m}_{0}+{m}_{1}+{m}_{2}）}$．
（2）当弹簧再次到达自然长度时A、B的速度为0、$\frac{{m}_{0}{v}_{0}}{{m}_{2}}$．

点评 本题考查了动量守恒定律和能量守恒定律的综合运用，注意子弹和A作用的过程有能量损失，所以求解弹簧最大弹性势能时，不能用三者初状态的总能量减去末状态的总能量．