Question

3．已知地球的半径是6.4×10⁶m，地球的自转周期是24h，地球的质量是5.98×10²⁴kg，引力常量G=6.67×10^-11N•m²/kg²，若要发射一颗地球同步卫星，试求：
（1）地球同步卫星的轨道半径r；
（2）地球同步卫星的环绕速度v的大小，并与第一宇宙速度比较大小关系．

Answer 1

分析 （1）依据同步卫星的周期，列万有引力周期表达式，可得地球同步卫星的轨道半径r．
（2）依据同步卫星的周期和半径可得地球同步卫星的环绕速度v的大小．

解答 解：（1）依据万有引力提供向心力：
$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，
解得：$r=\root{3}{\frac{GM{T}^{2}}{4{π}^{2}}}=\root{3}{\frac{6.67×1{0}^{-11}×5.98×1{0}^{24}×（{24×3600）}^{2}}{4×3.1{4}^{2}}}$=4.2×10⁷m．
（2）地球同步卫星的环绕速度v的大小：
$v=\frac{2πr}{T}=\frac{2×3.14×4.2×1{0}^{7}}{24×3600}$=3.1×10³m/s．
答：（1）地球同步卫星的轨道半径为4.2×10⁷m；
（2）地球同步卫星的环绕速度v的大小3.1×10³m/s，比第一宇宙速度小．

点评 该题关键是应用好万有引力提供向心力的周期表达式，其中由于数值计算比较大，因此比较容易出错．