Question

8．如图所示，一等腰直角三角形OMN的腰长为2L，P点为ON的中点，三角形PMN内存在着垂直于纸面向里的匀强磁场Ⅰ（磁感应强度大小未知），一粒子源置于P点，可以射出垂直于ON向上的不同速率、不同种类的带正电的粒子．不计粒子的重力和粒子之间的相互作用．
（1）求线段PN上有粒子击中区域的长度s；
（2）若三角形区域OMN的外部存在着垂直于纸面向外的匀强磁场Ⅱ，磁感应强度大小为B；三角形OMP区域内存在着水平向左的匀强电场．某粒子从P点射出后经时间t恰好沿水平向左方向穿过MN进入磁场Ⅱ，然后从M点射出磁场Ⅱ进入电场，又在电场力作用下通过P点．求该粒子的荷质比以及电场的电场强度大小．

Answer 1

分析 （1）作出粒子运动轨迹，能击中PN段的粒子轨迹恰好与MN相切，根据几何关系求得粒子击中区域的长度；
（2）根据几何关系作出粒子运动轨迹，求出粒子圆周运动的轨迹半径，由半径求得粒子的荷质比，从M点进入电场后做类平抛运动，根据类平抛知识求得电场强度的大小；

解答 解：（1）粒子打在PN上离P最远时，轨道恰好与MN相切，根据几何关系作出粒子运动图象有：

由图象根据几何关系有：
${R}_{1}+\sqrt{2}{R}_{1}=L$
可得临界运动时粒子半径：
R=$\frac{L}{1+\sqrt{2}}$
粒子击中范围：
s=2R₁=$2×\frac{L}{1+\sqrt{2}}$=$2（\sqrt{2}-1）L$
（2）由题意作出粒子运动轨迹，由几何关系得：
R₂+R₂tan45°=L
得到粒子在PNM中圆周运动的轨道半径
${R}_{2}=\frac{L}{2}$
设粒子的速度大小为v，则可知粒子在PNM中运动的时间：
t=$\frac{\frac{π}{2}{R}_{2}}{v}$
则可得粒子速度v=$\frac{\frac{π}{2}{R}_{2}}{t}$=$\frac{πL}{4t}$
粒子在磁场II中在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，根据图示几何关系可得：
${R}_{3}=\frac{3L}{2}$
根据洛伦兹力提供向心力有：
$qvB=m\frac{{v}^{2}}{{R}_{3}}$
则解得粒子的比荷：
$\frac{q}{m}=\frac{v}{B{R}_{3}}=\frac{\frac{πL}{4t}}{B\frac{3}{2}L}$=$\frac{π}{6Bt}$
粒子从M进入电场后做类平抛运动，即在水平方向做初速度为o的匀加速直线运动，竖直方向做匀速直线运动，故有：
竖直方向有：2L=vt
可得类平抛运动时间t=$\frac{2L}{v}$
水平方向有：L=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$=$\frac{1}{2}•\frac{qE}{m}（\frac{2L}{v}）^{2}$
由此解得，电场强度E=$\frac{Lm{v}^{2}}{2q{L}^{2}}=\frac{（\frac{πL}{4t}）^{2}}{2L•\frac{q}{m}}$=$\frac{3BπL}{16t}$
答：（1）线段PN上有粒子击中区域的长度s=$2（\sqrt{2}-1）L$；
（2）该粒子的荷质比为$\frac{π}{6Bt}$以及电场的电场强度大小为$\frac{3BπL}{16t}$．

点评 解决此类问题需要根据题意作出粒子的运动轨迹，题目难在对题意的理解，并能根据轨迹确定相关的几何关系，即找出在磁场中圆周运动的圆心和轨道半径，找出这些题目才有突破口．