Question

18．如图所示，倾角为θ=37°的两根平行长直金属导轨间距为d，其底端接有阻值为R的电阻，整个装置处在垂直斜面向上，磁感应强度大小为B的匀强磁场中，导体杆ab、cd垂直于导轨放置，其与两导轨保持良好接触，导体杆cd的质量为m，与导轨间的动摩擦因数为μ=0.5，ab、cd电阻均为R．导体杆ab在恒力作用下沿导轨向上做匀速运动，导体杆cd保持静止状态．导轨电阻不计，重力加速度大小为g，sin37°=0.6，cos37°=0.8，求满足上述条件情况下，导体杆ab的速度范围．

Answer 1

分析 根据ab的运动求出电动势，再由闭合电路的欧姆定律求得经过cd的电流，对cd进行受力分析，根据cd处于平衡状态及摩檫力的范围求得安培力的范围，进而得到ab的速度范围．

解答 解：导体杆ab沿导轨向上以速度v匀速切割磁感线产生感应电动势E=Bdv，
导体杆cd保持静止状态，则相当于cd的电阻R与电阻R并联（并联总电阻$\frac{1}{2}R$）后与ab的电阻R串联，所以，闭合电路总电阻为$\frac{3}{2}R$，
通过ab的总电流${I}_{ab}=\frac{E}{\frac{3}{2}R}=\frac{2Bdv}{3R}$，方向由b指向a，
因为cd的电阻与电阻R等大，根据电路电流分流原理可得通过cd的电流${I}_{cd}=\frac{1}{2}{I}_{ab}=\frac{Bdv}{3R}$，方向由c指向d．
导体杆cd受到的安培力$F=B{I}_{cd}d=\frac{{B}^{2}{d}^{2}v}{3R}$，方向沿导轨向上．
导体杆cd除摩擦力外的受力如右图
导体杆cd的摩擦力有$0≤f≤μ{F}_{N}=μmgcosθ=\frac{2}{5}mg$
导体杆ba速度较小时，F较小，摩檫力沿导体杆向上，导体杆cd处于平衡状态（一直静止）．对导体杆cd进行受力分析有：F+f=mgsinθ
所以，$F=mgsinθ-f=\frac{3}{5}mg-f$
$\frac{1}{5}mg≤F≤\frac{3}{5}mg$
导体杆ba速度较大时，F较大，摩檫力沿导体杆向下，导体杆cd处于平衡状态（一直静止）．对导体杆cd进行受力分析，有：F=f+mgsinθ
所以，$F=\frac{3}{5}mg+f$
$\frac{3}{5}mg≤F≤mg$
综上所述，$\frac{1}{5}mg≤F≤mg$
即$\frac{1}{5}mg≤\frac{{B}^{2}{d}^{2}v}{3R}≤mg$
所以，$\frac{3mgR}{5{B}^{2}{d}^{2}}≤v≤\frac{3mgR}{{B}^{2}{d}^{2}}$
答：导体杆ab的速度应满足$\frac{3mgR}{5{B}^{2}{d}^{2}}≤v≤\frac{3mgR}{{B}^{2}{d}^{2}}$．

点评 在没有给出最大静摩擦力或滑动摩擦因数时，通常近似认为最大静摩檫力等于滑动摩檫力．另外，静摩擦力的方向和大小都需要进行受力分析，根据受力平衡得到，滑动摩檫力则是确定的．