题目内容
【题目】如图所示,倾角30°的光滑斜面上,轻质弹簧两端连接着两个质量均为的物块和,紧靠着挡板,通过轻质细绳跨过光滑定滑轮与质量的物块连接,细绳平行于斜面,在外力作用下静止在圆心角为60°、半径的的光滑圆弧轨
道的顶端处,此时绳子恰好拉直且无张力;圆弧轨道最低端与粗糙水平轨道相切,与一个半径的光滑圆轨道平滑连接。由静止释放,当滑至时,恰好离开挡板,此时绳子断裂。已知与间的动摩擦因数,重力加速度取,弹簧的形变始终在弹性限度内,细绳不可伸长。
(1)求弹簧的劲度系数;
(2)求物块滑至处,绳子断后瞬间,对圆轨道的压力大小;
(3)为了让物块能进入圆轨道且不脱轨,则间的距离应满足什么条件?
【答案】(1);(2)144N;(3)①第一种情况,不超过圆轨道上与圆心的等高点,6m x8m;②第二种情况,过圆轨道最高点,x3m
【解析】(1)A 位于a 处时,绳无张力且物块B 静止,故弹簧处于压缩状态
对B 由平衡条件有kx=mgsin30° (1分)
当C 恰好离开挡板P 时,C 的加速度为0,故弹簧处于拉升状态
对C 由平衡条件有kx′= mgsin30° (1分)
由几何关系知R=x+x′ (2分)
代入数据解得 (1分)
(2)物块A 在a 处与在b 处时,弹簧的形变量相同,弹性势能相同. 故 A 在a 处与在b
处时,A、B 系统的机械能相等
有 (1分)
如图所示,将A 在b 处的速度分解,由速度分解关系有vAcos30°=vB (1分)
代入数据解得 (1分)
在b 处,对A 由牛顿定律有 (1分)
代入数据解得
由牛顿第三定律,A 对圆轨道的压力大小为N′=144N (1分)
(3)物块A 不脱离圆形轨道有两种情况
①第一种情况,不超过圆轨道上与圆心的等高点
由动能定理,恰能进入圆轨道时需满足条件 (1分)
恰能到圆心等高处时需满足条件 (1分)
代入数据解得
即:6m x8m (1分)
②第二种情况,过圆轨道最高点
在最高点,由牛顿定律有
恰能过最高点时,N =0, (1分)
由动能定理有 (1分)
代入数据解得
所以x3m (1分)