题目内容

【题目】如图所示,倾角30°的光滑斜面上,轻质弹簧两端连接着两个质量均为的物块紧靠着挡板通过轻质细绳跨过光滑定滑轮与质量的物块连接,细绳平行于斜面,在外力作用下静止在圆心角为60°、半径的光滑圆弧轨

道的顶端处,此时绳子恰好拉直且无张力;圆弧轨道最低端与粗糙水平轨道相切,与一个半径的光滑圆轨道平滑连接。由静止释放,当滑至时,恰好离开挡板,此时绳子断裂。已知间的动摩擦因数,重力加速度取,弹簧的形变始终在弹性限度内,细绳不可伸长。

(1)求弹簧的劲度系数;

(2)求物块滑至处,绳子断后瞬间,对圆轨道的压力大小;

(3)为了让物块能进入圆轨道且不脱轨,则间的距离应满足什么条件?

【答案】(1);(2)144N;(3)①第一种情况,不超过圆轨道上与圆心的等高点,6m x8m;②第二种情况,过圆轨道最高点,x3m

【解析】(1)A 位于a 处时,绳无张力且物块B 静止,故弹簧处于压缩状态

B 由平衡条件有kx=mgsin30° (1)

C 恰好离开挡板P ,C 的加速度为0,故弹簧处于拉升状态

C 由平衡条件有kx′= mgsin30° (1)

由几何关系知R=x+x′ (2)

代入数据解得 (1)

(2)物块A a 处与在b 处时,弹簧的形变量相同,弹性势能相同. A a 处与在b

处时,A、B 系统的机械能相等

(1)

如图所示,A b 处的速度分解,由速度分解关系有vAcos30°=vB (1)

代入数据解得 (1)

b ,A 由牛顿定律有 (1)

代入数据解得

由牛顿第三定律,A 对圆轨道的压力大小为N′=144N (1)

(3)物块A 不脱离圆形轨道有两种情况

①第一种情况,不超过圆轨道上与圆心的等高点

由动能定理,恰能进入圆轨道时需满足条件 (1)

恰能到圆心等高处时需满足条件 (1)

代入数据解得

:6m x8m (1)

②第二种情况,过圆轨道最高点

在最高点,由牛顿定律有

恰能过最高点时,N 0, (1)

由动能定理有 (1)

代入数据解得

所以x3m (1)

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