题目内容

3．如图所示，一轻绳吊着一根粗细均匀的棒，棒下端离地面高为H，上端套着一个细环．棒和环的质量均为m，相互间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力kmg（k＞1）．断开轻绳，棒和环自由下落．假设棒足够长，与地面发生碰撞时触地时间极短，无动能损失．棒在整个运动过程中始终保持竖直，空气阻力不计．求：
（1）棒第一次与地面碰撞后弹起上升的过程中，环的加速度．
（2）从断开轻绳到棒与地面第二次碰撞的瞬间，棒运动的路程s．
（3）从断开轻绳到棒和环都静止的过程中，摩擦力对环和棒做的总功W．

分析 （1）在棒上升的过程中，环要受到重力的作用，同时由于环向下运动而棒向上运动，环还要受到棒的向上的摩擦力的作用，根据牛顿第二定律列式可以求得加速度的大小．
（2）棒运动的总路程为原来下降的高度H，加上第一次上升高度的两倍，对棒受力分析可以求得棒的加速度的大小，在由运动学公式可以求得上升的高度．
（3）整个过程中能量的损失都是由于摩擦力对物体做的功，所以根据能量的守恒可以较简单的求得摩擦力对环及棒做的总功．

解答 解：（1）设棒第一次上升的过程中环的加速度为a环，由牛顿第二定律有：a环=$\frac{kmg-mg}{m}$=（k-1）g，方向竖直向上．
（2）棒第一次落地前瞬间的速度大小为：v1=$\sqrt{2gH}$
设棒弹起后的加速度为a棒，由牛顿第二定律有：a棒=-$\frac{kmg+mg}{m}$=-（k+1）g
故棒第一次弹起的最大高度为：H1=$\frac{{v}_{1}^{2}}{{2a}_{棒}}$=$\frac{H}{k+1}$
路程为：s=H+2H1=$\frac{k+3}{k+1}$H．
（3）解法一　设棒第一次弹起经过t1时间后与环达到共同速度v1′
环的速度为：v1′=-v1+a环t1
棒的速度为：v1′=v1+a棒t1
解得：t1=$\frac{1}{k}$$\sqrt{\frac{2H}{g}}$
v1′=-$\frac{\sqrt{2gH}}{k}$
环的位移h环1=-v1t1+$\frac{1}{2}$a环t12=-$\frac{k+1}{k2}$H
棒的位移h棒1=v1t1+$\frac{1}{2}$a棒t12=$\frac{k-1}{k2}$H
x1=h环1-h棒1
解得：x1=-$\frac{2H}{k}$
棒、环一起下落至地，有：v22-v1′2=2gh棒1
解得：v2=$\sqrt{\frac{2gH}{k}}$
同理，环第二次相对棒的位移为：
x2=h环2-h棒2=-$\frac{2H}{k2}$
…
xn=-$\frac{2H}{kn}$
故环相对棒的总位移x=x1+x2+…+xn=-$\frac{2H}{k-1}$
所以W=kmgx=-$\frac{2kmgH}{k-1}$．
解法二：经过足够长的时间棒和环最终静止，设这一过程中它们相对滑动的总路程为l，由能量的转化和守恒定律有：
mgH+mg（H+l）=kmgl
解得：l=$\frac{2H}{k-1}$
故摩擦力对环和棒做的总功为：
W=-kmgl=-$\frac{2kmgH}{k-1}$．
答：（1）环的加速度为（k-1）g，方向竖直向上．
（2）从断开轻绳到棒与地面第二次碰撞的瞬间，棒运动的路程：$\frac{k+3}{k+1}$H．
（3）从断开轻绳到棒和环都静止，摩擦力对环及棒做的总功-$\frac{2kmgH}{k-1}$．

点评 本题考查功能关系以及牛顿第二定律的综合应用，属于力学综合问题；注意：对比求摩擦力总功的两种方法可以发现，应用能量的守恒来解决本题可以很简单的求出结果，这样既能够简化解题的过程还可以节约宝贵的时间，所以在平时一定要考虑如何解题能够简单快捷．

练习册系列答案
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纸带上1、2、3、4、5各计数点到0的距离如表所示（单位：cm）
12345
前一部分4.89.614.419.224.0
后一部分2.044.567.5611.0415.00
由这条纸带提供的数据，可知
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