Question

如图甲所示，光滑且足够长的平行金属导轨MN、PQ固定在同一水平面上，两导轨间距L=1m，电阻R₁=3Ω，R₂=1.5Ω，导轨上放一质量m=1kg的金属杆，长度与金属导轨等宽，与导轨接触良好，导轨和金属杆的电阻不计，整个装置处于磁感应强度B=0.8T的匀强磁场中，磁场的方向垂直导轨平面向下，现用一拉力F沿水平方向拉杆，使金属杆由静止开始运动．图乙所示为通过R₁中的电流平方随时间变化的I₁²-t图线，求：
（1）5s末金属杆的动能；
（2）5s末安培力的功率；
（3）5s内拉力F做的功．

Answer 1

分析：（1）由乙读出I₁²，得到电流I₁，由电路中并联电路关系求出干路中电流，由闭合电路欧姆定律求得感应电动势，由E=BLv求出金属杆的速度，即可求得其动能；
（2）由F=BIL求出杆所受的安培力F_A，5s末安培力的功率P_A=F_Av．
（3）根据乙图的“面积”求出I₁²t，由焦耳定律Q₁=I₁²R₁t求出R₁产生的焦耳热，得到整个电路产生的总焦耳热，再根据由动能定理求拉力做功．

解答：解：（1）由图知：5s末时，

I

2 1

=4A²，则得：I₁=

4

A=2A
电路中，有：I₁：I₂=R₂：R₁=1：2，得 I₂=4A
干路电流：I=3I₁=3×2=6A
R₁与R₂并联电阻值：R_并=

R1R2

R1+R2

=

3×1.5

3+1.5

Ω=1Ω，
感应电动势 E=BLv=IR_并；       
金属杆的速度v=

IR并

BL

=

6×1

0.8×1

=7.5m/s  
5s末金属杆的动能E_k=

1

2

mv2=

1

2

×1×7．52=28.125J
（2）解法一：F_A=BIL=0.8×6×1=4.8N
5s末安培力的功率P_A=F_Av=4.8×7.5=36W
解法二：由P=

U2

R

，U相等，则得：P₁：P₂=R₂：R₁=1：2，P₂=2P₁；
则得5s末安培力的功率 P_A=P₁+P₂=3I₁²R₁=3×2²×3W=36W 
（3）Q₁=I₁²R₁t，根据图线知，I₁²t即为图线与时间轴包围的面积
又Q₁：Q₂=1：2
所以 W_A=3Q₁=3×

1

2

×4×5×3=90 J   
由动能定理，得W_F-W_A=△E_k   
5s内拉力F做的功W_F=W_A+△E_k=90+112.5=202.5 J   
答：
（1）5s末金属杆的动能是28.125J；
（2）5s末安培力的功率是36W；
（3）5s内拉力F做的功是=202.5J．

点评：本题整合了电路、力学和电磁感应中：欧姆定律、焦耳定律、动能定理等等多个知识点，还要理解图象的物理意义，综合性较强．