Question

10．如图所示，光滑的平行金属导轨水平放置，电阻不计，导轨间距为L，左侧接一阻值为R的电阻．区域cdef内存在垂直轨道平面向下的磁感应强度为B的匀强磁场．质量为m、电阻为r的导体棒MN垂直于导轨放置，并与导轨接触良好．棒MN在平行于轨道的水平拉力作用下，由静止开始做加速度为a匀加速度直线运动运动并开始计时，求：
（1）棒位移为s时的速度及此时MN两端的电压；
（2）棒运动时间t内通过电阻R的电量；
（3）棒在磁场中运动过程中拉力F与时间t的关系；
（4）若撤去拉力后，棒的速度随位移s的变化规律满足v=v₀-cs，（c为已知的常数），撤去拉力后棒在磁场中运动距离为d时恰好静止，则拉力作用的时间为多少？

Answer 1

分析 （1）根据匀变速直线运动的位移速度关系求解速度，根据导体切割磁感应线产生的感应电动势和闭合电路的欧姆定律求解MN两端的电压；
（2）根据闭合电路的欧姆定律可得电流强度，根据电荷量的经验公式求解电荷量；
（3）根据匀变速直线运动速度时间关系求解导体运动速度，再根据牛顿第二定律求解拉力与时间关系；
（4）根据速度时间关系得到速度大小，当位移为d时速度v=0代入棒的速度随位移s的变化规律即可求解．

解答 解：（1）设棒位移为s时的速度为v₁，棒静止开始匀加速度直线运动，所以有：
v₁²=2as，
解得：v₁=$\sqrt{2as}$
根据导体切割磁感应线可得：E=BLv₁，
根据闭合电路的欧姆定律可得：I=$\frac{E}{R+r}$，
所以有：U=IR=$\frac{E}{R+r}$R=$\frac{\sqrt{2as}BLR}{R+r}$；
（2）根据闭合电路的欧姆定律可得：I=$\frac{E}{R+r}$=$\frac{BLat}{R+r}$，
I随时间均匀变化，所以有：q=$\frac{I}{2}$t=$\frac{BLa{t}^{2}}{2（R+r）}$；
（3）t时刻，导体运动速度为：v=at
所以安培力为：${F_安}=BIL=\frac{{{B^2}{L^2}at}}{R+r}$，
对棒受力分析，由牛顿第二定律得：F_合=ma
即：F-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}at}{R+r}$=ma，
所以拉力与时间关系为：F=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}a}{R+r}$t+ma；
（4）设拉力作用的时间为t₀，则有：v₀=at₀
当位移为d时速度v=0代入v=v₀-cs，
得：t₀=$\frac{cd}{a}$．
答：（1）棒位移为s时的速度为$\sqrt{2as}$，此时MN两端的电压为$\frac{\sqrt{2as}BLR}{R+r}$；
（2）棒运动时间t内通过电阻R的电量为$\frac{BLa{t}^{2}}{2（R+r）}$；
（3）棒在磁场中运动过程中拉力F与时间t的关系为F=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}a}{R+r}$t+ma；
（4）拉力作用的时间为$\frac{cd}{a}$．

点评 对于电磁感应问题研究思路常常有两条：一条从力的角度，重点是分析安培力作用下导体棒的平衡问题，根据平衡条件列出方程；另一条是能量，分析涉及电磁感应现象中的能量转化问题，根据动能定理、功能关系等列方程求解．