Question

9．如图所示，x轴上放有一足够大的荧光屏，y轴上（0，L）处有一个点状的α粒子放射源A，某瞬间同时向xoy平面内各个方向发射速率均为v₀的α粒子（不计重力），设α粒子电量为q，质量为m，求：
（1）当空间中只存在平行xoy平面沿y轴负方向的匀强电场时，最后到达荧光屏的α粒子在电场中的运动时间为最先到达荧光屏的α粒子在电场中运动时间的3倍，求电场强度．
（2）当空间中只存在垂直xoy平面向里的匀强磁场且磁感应强度B=$\frac{m{v}_{0}}{qL}$时，最先到达荧光屏的α粒子在磁场中的运动时间与最后到达荧光屏的α粒子在磁场中运动时间的比值为多少．

Answer 1

分析 （1）当空间存在沿y轴负方向的匀强电场时，沿y轴负方向的粒子运动的时间最短，沿y轴正方向的粒子运动的时间最长，结合位移时间公式，根据牛顿第二定律，联立求出电场强度．
（2）根据粒子在匀强磁场中运动的半径公式求出粒子做圆周运动的半径，作出粒子轨迹图，确定出最先和最后到达荧光屏粒子的轨迹，结合圆心角求出运动的时间之比．

解答 解：（1）设沿y轴负方向射出的粒子运动的最短时间为t₁，
沿y轴正方向射出的粒子运动的最长时间为3t₁，
取y轴负方向为正，由题意，有L=${v}_{0}{t}_{1}+\frac{1}{2}a{{t}_{1}}^{2}$，-L=$-3{v}_{0}{t}_{1}+\frac{1}{2}a（3{t}_{1}）^{2}$，
又因为a=$\frac{qE}{m}$，
解得：E=$\frac{3m{{v}_{0}}^{2}}{2qL}$．
（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，设半径为R，有R=$\frac{m{v}_{0}}{qB}$，
又B=$\frac{m{v}_{0}}{qL}$，则R=L，当粒子轨迹对应圆心角最小时，时间最短，由题意可知粒子打到O电时，时间最短，如图轨迹Ⅰ：
由几何关系知${θ}_{1}=\frac{π}{3}$，${t}_{min}=\frac{T}{6}$，
当轨迹与O点左侧荧光屏相切时，时间最长，如图轨迹Ⅱ
由几何关系知${θ}_{2}=\frac{3}{2}π$，${t}_{max}=\frac{3}{4}T$，
故$\frac{{t}_{min}}{{t}_{max}}=\frac{2}{9}$．
答：（1）电场强度的大小为$\frac{3m{{v}_{0}}^{2}}{2qL}$．
（2）最先到达荧光屏的α粒子在磁场中的运动时间与最后到达荧光屏的α粒子在磁场中运动时间的比值为$\frac{2}{9}$．

点评 本题考查了带电粒子在匀强电场和匀强磁场中的运动，对于粒子在电场中运动，分析清楚粒子的运动规律，结合牛顿第二定律和运动学公式综合求解，对于粒子在磁场中的运动，掌握半径公式和周期公式，并能灵活运用．