Question

18．如图所示，直角坐标系x0y在竖直平面内且x轴沿水平方向．在区域有电场强度大小为E、方向沿y轴正方向的匀强电场．一带电粒子从0点以某一速度沿y轴正方向做匀速直线运动，到达（0，L） 点后进入磁感应强度为B、方向垂直于x0y平面的圆形匀强磁场区域（图中未画出）．粒子通过磁场区域后垂直电场线进入匀强电场，粒子穿越电场前后速度方叫偏转了45°，已知带粒子的质量为m，电量为q，不计带电粒子的重力．求：
（1）带电粒子勻速运动速度的大小；
（2）圆形匀强磁场区域的最小半径及圆心坐标．

Answer 1

分析 （1）根据粒子穿越电场后速度偏转45度，结合平行四边形定则求出竖直分速度和水平分速度的关系，结合粒子在电场中水平方向上做匀速直线运动，竖直方向上做匀加速直线运动，结合牛顿第二定律和运动学公式求出带电粒子匀速运动的速度大小．
（2）根据洛伦兹力提供向心力求出粒子在磁场中运动的轨迹半径，结合几何关系求出圆形磁场区域的最小半径，以及圆心的坐标．

解答 解：（1）设带电粒子匀速运动时速度为v₀，带电粒子在电场中做类平抛运动加速度为a，在电场中运动时间为t，离开电场时水平方向速度为v_x，竖直方向速度为v_y，
水平分速度v_x=v₀，
竖直分速度v_y=at，
根据平行四边形定则知，$tan45°=\frac{{v}_{y}}{{v}_{x}}$，
L=v₀t，
根据牛顿第二定律得，qE=ma，
解得 ${v}_{0}=\sqrt{\frac{qLE}{m}}$．
（2）设带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径为R，圆形匀强磁场区域的最小半径为r
$q{v}_{0}B=m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{R}$，
由几何关系得，r=$\frac{\sqrt{2}}{2}R$，
圆形匀强磁场区域的最小半径，r=$\frac{1}{B}\sqrt{\frac{mLE}{2q}}$．
圆形匀强磁场的圆心坐标
x=rcos45°，y=L+rsin45°，
解得圆心坐标为（$\frac{1}{2B}\sqrt{\frac{mLE}{q}}$，L+$\frac{1}{2B}\sqrt{\frac{mLE}{q}}$）．
答：（1）带电粒子勻速运动速度的大小为$\sqrt{\frac{qLE}{m}}$；
（2）圆形匀强磁场区域的最小半径为$\frac{1}{B}\sqrt{\frac{mLE}{2q}}$，圆心坐标为（$\frac{1}{2B}\sqrt{\frac{mLE}{q}}$，L+$\frac{1}{2B}\sqrt{\frac{mLE}{q}}$）．

点评 本题主要考查了带电粒子在混合场中运动的问题，要求同学们能正确分析粒子的受力情况，再通过受力情况分析粒子的运动情况，熟练掌握圆周运动及平抛运动的基本公式，难度适中．