Question

1．一个竖立着的轻弹簧，支撑着倒立的薄壁气缸（导热性能良好）的活塞使气缸静止，如图所示，此时环境温度为T₀（单位K），封闭气柱的长度L₁=30cm，气缸口未着地，当环境温度缓慢降为$\frac{5}{6}$T₀时，气缸正好着地，但与地面之间无压力，假设活塞与气缸壁之间无摩擦且不漏气，已知气缸质量M=10kg，活塞质量m=4kg，轻弹簧原长为27cm，活塞的横截面积S=2×10^-3m²，大气压强p₀=1×10⁵Pa，当地重力加速度g=10m/s²，求：
①环境温度为T₀时气缸口离地高度h；
②当环境温度缓慢降为$\frac{8}{25}$T₀时，弹簧恰好恢复原长，求弹簧的劲度系数．

Answer 1

分析 ①气缸内的气体温度从${T}_{0}^{\;}$缓慢降为$\frac{5}{6}{T}_{0}^{\;}$，气体发生等压变化，根据盖-吕萨克定律求末状态封闭气体的长度，气缸气柱的长度的差即为环境温度为T₀时气缸口离地高度h；
②求出气缸内气体在刚着地时的压强和最终弹簧恢复原长时的压强，根据理想气体状态方程求出弹簧恢复原长时气柱长度，求出弹簧的形变量，再根据活塞的受力平衡即可求出求出弹簧的劲度系数；

解答 解：①气缸内气体发生等圧変化，根据盖-吕萨克定律有：
$\frac{{V}_{1}^{\;}}{{T}_{1}^{\;}}=\frac{{V}_{2}^{\;}}{{T}_{2}^{\;}}$
代入数据：$\frac{30S}{{T}_{0}^{\;}}=\frac{{L}_{2}^{\;}S}{\frac{5}{6}{T}_{0}^{\;}}$
解得：${L}_{2}^{\;}=25cm$
气缸下降的高度为：$△h={L}_{1}^{\;}-{L}_{2}^{\;}=30-25=5cm$
即环境温度为${T}_{0}^{\;}$时气缸口离地高度为5cm
②气缸刚着地时气缸内气体的压强为${p}_{1}^{\;}$，对气缸：${p}_{1}^{\;}={p}_{0}^{\;}+\frac{Mg}{S}$=$1×1{0}_{\;}^{5}+\frac{10×10}{2×1{0}_{\;}^{-3}}$=1.5×$1{0}_{\;}^{5}{p}_{a}^{\;}$
弹簧恰好恢复原长时，以活塞为研究对象有：${p}_{2}^{\;}={p}_{0}^{\;}=1.0×1{0}_{\;}^{5}$${p}_{a}^{\;}$
根据理想气体状态方程，有：
$\frac{{p}_{1}^{\;}{V}_{1}^{\;}}{{T}_{1}^{\;}}=\frac{{P}_{2}^{\;}{V}_{2}^{\;}}{{T}_{2}^{\;}}$
代入数据：$\frac{1.5×1{0}_{\;}^{5}×25S}{\frac{5}{6}{T}_{0}^{\;}}$=$\frac{1.0×1{0}_{\;}^{5}×{L}_{3}^{\;}S}{\frac{8}{25}{T}_{0}^{\;}}$
解得：${L}_{3}^{\;}$=14.4cm
弹簧的形变量为：$x={L}_{2}^{\;}-{L}_{3}^{\;}=25-14.4$=10.6cm
活塞刚着地时，对活塞有：${p}_{1}^{\;}S+mg={p}_{0}^{\;}S+kx$
代入数据：$1.5×1{0}_{\;}^{5}×2×1{0}_{\;}^{-3}+40$=$1×1{0}_{\;}^{5}×2×1{0}_{\;}^{-3}$+k$•10.6×1{0}_{\;}^{-2}$
解得：k=1320N/m
答：①环境温度为T₀时气缸口离地高度h为5cm；
②当环境温度缓慢降为$\frac{8}{25}$T₀时，弹簧恰好恢复原长，弹簧的劲度系数为1320N/m

点评 解决本题关键是分析清楚气体状态变化过程、知道气体发生什么变化是解题的前提与关键，求出气体状态参量，难点是选择恰当的研究对象进行受力分析求气体压强．