Question

12．如图所示，质量为M=0.5kg、长L=4m的木板静止在光滑水平面上，可视为质点、质量为m=1kg的物块以初速度v₀=8m/s滑上木板的左端，物块与木板之间的动摩擦因数为μ=0.2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g=10m/s²．
（1）物块在木板上滑动时的加速度是多大？
（2）物块能从木板的右端滑下，求物块在木板上滑行的时间是多少？
（3）若在物块滑上木板的同时，给木板施加一个水平向右的恒力F，要物体不从木板上滑下，求恒力F的取值范围．

Answer 1

分析 （1）对木块受力分析，根据牛顿第二定律求得加速度；
（2）根据牛顿第二定律求得木块与木板的加速度，利用运动学公式求得达到相同速度通过的位移即可判断；
（3）当F较小时，根据牛顿第二定律求得两者的加速度，根据运动学公式判断出刚好从右侧滑落时的拉力，同理当拉力较大时，滑块从左侧滑落，根据运动学公式即可判断

解答 解：（1）对物块μmg=ma
可得物体的加速度大小：${a}_{m}=μg=2m/{s}^{2}$
（2）木板的加速度大小：${a}_{M}=\frac{μmg}{M}=4m/{s}^{2}$
由题意知，相对位移 s=L=4m                                                
$L={v}_{0}t-\frac{1}{2}{a}_{m}{t}^{2}-\frac{1}{2}{a}_{M}{t}^{2}$
联立解得：t=$\frac{2}{3}$s，t=2s
当t=2s时，滑块的速度为4m/s，木板的速度为8m/s，而当物块从木板右端滑离时，滑块的速度不可能小于木板的速度，t=2s应舍弃，故所求时间为t=$\frac{2}{3}$s
（3）①当F较小时，物块将从木板右端滑下，当F增大到某一值时物块恰好到达木板的右端，且两者具有共同速度v，历时t₁，则：
$a{′}_{M}=\frac{F+μmg}{M}$
v=v₀-a_mt₁=a′_M-t₁
$s=\frac{{v}_{0}+v}{2}{t}_{1}-\frac{v}{2}{t}_{1}=\frac{{v}_{0}}{2}{t}_{1}$
由题知，相对路程：L=4m
代入解得：F≥1N
②当F继续增大时，物块减速、木板加速，两者在木板上某一位置具有共同速度；当两者共速后能保持相对静止（静摩擦力作用）一起以相同加速度a做匀加速运动，则：
$a=\frac{F}{M+m}$
f=ma
由于静摩擦力存在最大值，所以：f≤f_max=μmg=2N
联立解得：F≤3N
综述：恒力F的取值范围是1N≤F≤3N
答：（1）物块在木板上滑动时的加速度是2m/s²
（2）物块能从木板的右端滑下，物块在木板上滑行的时间是$\frac{2}{3}s$
（3）若在物块滑上木板的同时，给木板施加一个水平向右的恒力F，要物体不从木板上滑下，恒力F的取值范围时1N≤F≤3N．

点评 滑块与小车间通过摩擦力相互作用，在研究时应注意所选的研究对象的受力及质量不能用错，注意木块与木板的速度关系是解题的关键．