Question

9．一条宽度为L的河，水流速度为V_水，已知船在静水中速度为V_船，那么：
（1）怎样渡河时间最短，时间为多少？
（2）若V_船＞V_水，怎样渡河位移最小？这样渡河所需要的时间？
（3）若V_船＜V_水，怎样渡河位移最小？这样渡河所需要的时间？位移为多少？

Answer 1

分析 当静水速的方向与河岸垂直时，渡河时间最短；当静水速小于水流速，合速度方向不可能垂直于河岸，即不可能垂直渡河，当合速度的方向与静水速的方向垂直时，渡河位移最短；而当静水速大于水流速，合速度方向可垂直于河岸，即垂直渡河，位移最短．

解答 解：（1）如图所示．设船头斜向上游与河岸成任意角θ．这时船速在垂直与河岸方向的速度分量为v₂=v_船sinθ，
渡河所用时间为：t=$\frac{L}{{v}_{2}}$=$\frac{L}{{v}_{船}sinθ}$．可以看出：L、V_船一定时，t随sinθ增大而减小；当θ=90°时，sinθ=1（最大）．所以船头与河岸垂直时，渡河时间最小为：t_min=$\frac{L}{{v}_{船}}$．
（2）如图所示，渡河的最小位移即河的宽度．为使船能直达对岸，船头应指向河的上游，并与河岸成一定角度θ．根据三角函数关系有：cosθ=$\frac{{v}_{水}}{{v}_{船}}$，
因为0≤cosθ≤1，所以只有在V_船＞V_水时，船才有可能垂直河岸渡河．此时渡河的时间为：t₁=$\frac{L}{\sqrt{{v}_{船}^{2}-{v}_{水}^{2}}}$；
（3）如果V_水＞V_船，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游，要使船漂下的航程最短，如图所示，设船头V_船与河岸成θ角，合速度v与河岸成α角．可以看出：α角越大，船漂下的距离x越短，那么，在什么条件下α角越大呢？以V_水的矢尖为圆心，V_船为半径画圆，当v与圆相切时，α角最大．根据cosθ=$\frac{{v}_{水}}{{v}_{船}}$得渡河所需要的时间为：t₂=$\frac{L}{{v}_{船}sinθ}$．
依据三角形相似比，则此时渡河最短位移设为s，则有：$\frac{L}{s}=\frac{{v}_{船}}{{v}_{水}}$；
解得：s=$\frac{{v}_{水}}{{v}_{船}}L$
答：（1）船头垂直河岸时，渡河时间最短；
（2）若V_船＞V_水，合速度垂直河岸时，渡河位移最小，这样渡河所需要的时间为$\frac{L}{\sqrt{{v}_{船}^{2}-{v}_{水}^{2}}}$；
（3）若V_船＜V_水，当船的速度垂直合速度时，渡河船漂下的距离最短，这样渡河所需要的时间$\frac{L}{{v}_{船}sinθ}$，位移为$\frac{{v}_{水}}{{v}_{船}}L$．

点评 解决本题的关键知道合运动与分运动具有等时性，以及知道静水速与河岸垂直时，渡河时间最短．若静水速大于水流速，合速度方向与河岸垂直时，渡河位移最短；若静水速小于水流速，则合速度方向与静水速方向垂直时，渡河位移最短．