Question

12．如图所示，AD与A₁D₁为水平放置的无限长平行金属导轨，DC与D₁C₁为倾角为θ=37°的平行金属导轨，两组导轨的间距均为l=1.5m，导轨电阻忽略不计．质量为m₁=0.35kg、电阻为R₁=1Ω的导体棒ab置于倾斜导轨上，质量为m₂=0.4kg、电阻为R₂=0.5Ω的导体棒cd置于水平导轨上，轻质细绳跨过光滑滑轮一端与cd的中点相连、另一端悬挂一轻质挂钩．导体棒ab、cd与导轨间的动摩擦因数相同，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力．整个装置处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度为B=2T．初始时刻，棒ab在倾斜导轨上恰好不下滑．（g取10m/s²，sin37°=0.6）
（1）求导体棒与导轨间的动摩擦因数μ；
（2）在轻质挂钩上挂上物体P，细绳处于拉伸状态，将物体P与导体棒cd同时由静止释放，当P的质量不超过多大时，ab始终处于静止状态？（导体棒cd运动过程中，ab、cd一直与DD₁平行，且没有与滑轮相碰．）
（3）若P的质量取第（2）问中的最大值，由静止释放开始计时，当t=1s时cd已经处于匀速直线运动状态，求在这1s内ab上产生的焦耳热为多少？

Answer 1

分析 （1）对ab棒受力分析，沿斜面方向上由平衡条件列方程求解；
（2）对ab棒，在沿斜面方向和垂直斜面方向建立平衡方程；对cd棒，根据平衡条件列方程，联立求解ab始终处于静止状态时P的质量；
（3）由法拉第电磁感应定律和闭合电路欧姆定律求解匀速运动的速度大小，对P、ab棒和cd棒，由能量守恒定律求解ab棒上产生的焦耳热．

解答 解：（1）对ab棒受力分析，受竖直向下的重力，垂直于斜面向上的支持了和沿斜面向上的摩擦力作用，在沿斜面方向上由平衡条件得：
m₁gsinθ-μm₁gcosθ=0
代入数据解得：μ=0.75；
（2）当P的质量最大时，P和cd的运动达到稳定时，P和cd一起做匀速直线运动，ab处于静止状态，但摩擦力达到最大且沿斜面向下．设此时电路中的电流为I
对ab棒，由平衡条件，
沿斜面方向上有：BILcosθ-m₁gsinθ-μN=0
垂直于斜面方向上有：N-BILsinθ-m₁gcosθ=0
对cd棒，设绳中的张力为T，由平衡条件得：T-BIL-μm₂g=0
对P，由平衡条件得：Mg-T=0
联立以上各式得：M=1.5Kg    
故当P的质量不超过1.5Kg时，ab始终处于静止状态；
（3）设P匀速运动的速度为v，由法拉第电磁感应定律和闭合电路欧姆定律得：
Blv=I（R₁+R₂）        
代入数据得：v=2m/s           
对P、棒cd，由牛顿第二定律得：
Mg-μm₂g-B$\frac{Bl{v}_{1}}{{R}_{1}+{R}_{2}}l$=（M+m₂）a
两边同时乘以△t，并累加求和，可得：
Mgt-μm₂gt-B$\frac{Bls}{{R}_{1}+{R}_{2}}l$=（M+m₂）v
解得：s=$\frac{41}{30}$m
对P、ab棒和cd棒，由能量守恒定律得：
Mgs=μm₂gs+Q+$\frac{1}{2}$（M+m₂）²
代入数据解得：Q=12.6J     
在这1s内ab棒上产生的焦耳热为Q₁=$\frac{{R}_{1}}{{R}_{1}+{R}_{2}}$Q=8.4J．
答：（1）求导体棒与导轨间的动摩擦因数μ为0.75；
（2）在轻质挂钩上挂上物体P，细绳处于拉伸状态，将物体P与导体棒cd同时由静止释放，当P的质量不超过1.5Kg时，ab始终处于静止状态．
（3）若P的质量取第（2）问中的最大值，由静止释放开始计时，当t=1s时cd已经处于匀速直线运动状态，在这1s内ab上产生的焦耳热为8.4J．

点评 对于电磁感应问题研究思路常常有两条：一条从力的角度，重点是分析安培力作用下导体棒的平衡问题，根据平衡条件列出方程；另一条是能量，分析涉及电磁感应现象中的能量转化问题，根据动能定理、功能关系等列方程求解．