Question

9．如图1所示是游乐场中过山车的实物图片，可将过山车的一部分运动过程简化为图2的模型图．模型图中光滑圆形轨道的半径R=8.0m，该光滑圆形轨道固定在倾角为θ=37^o斜轨道面上的Q点，圆形轨道的最高点A与倾斜轨道上的P点平齐，圆形轨道与斜轨道之间圆滑连接．现使小车（视作质点）从P点以一定的初速度沿斜面向下运动，小车经过P点的初速度v₀=12m/s．不计空气阻力，取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．若小车恰好能通过圆形轨道的最高点A处，则：

（1）小车在A点的速度为多大？
（2）小车在圆形轨道运动时对轨道的最大压力为重力的多少倍？
（3）斜轨道面与小车间的摩擦力为小车对轨道压力的多少倍？

Answer 1

分析 （1）小车恰 好通过最高点，故重力充当向心力，则可求得A点的速度；
（2）根据机械能守恒定律可求得B点的速度，再根据向心力公式即可求得B点的支持力，再由牛顿第三定律可求得压力大小；
（3）由几何关系可求得PQ间的距离，对PA过程，由动能定理列式即可求得摩擦力大小，由力的合成和分解可求得压力，则可求得摩擦力与压力的关系．

解答 解：
（1）设小车经过A点时的最小速度为v_A，根据牛顿第二定律有
mg=$\frac{m{v}_{A}^{2}}{R}$
v_A=4$\sqrt{5}$m/s
（2）小车从Q点沿圆周运动的过程中机械能守恒，在圆周的最低点（设为B点）时，对轨道的压力最大，设小车经过此位置的速度为v_B，依据机械能守恒定律，则有
$\frac{1}{2}$mv_A²+2mgR=$\frac{1}{2}$mv_B²
设轨道在最低点给小车的支持力为F_B，根据牛顿第二定律有
F_B-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
解得F_B=6mg
依据牛顿第三定律可知，球对轨道的作用力F_B'=6mg
即小车在圆形轨道运动时对轨道的最大压力为重力的6倍．
（3）设PQ间距离为L，L=$\frac{R（1+cosθ）}{sinθ}$
设小车从P点到A点的运动过程中受到的摩擦力为f，由动能定理得
-fL=$\frac{1}{2}$mv_A²-$\frac{1}{2}$mv₀²
小车对轨道压力F_压=mgcosθ
解得$\frac{f}{{F}_{压}}$=$\frac{1}{6}$
答：（1）小车在A点的速度为4$\sqrt{5}$m/s；
（2）小车在圆形轨道运动时对轨道的最大压力为重力的6倍；
（3）斜轨道面与小车间的摩擦力为小车对轨道压力的$\frac{1}{6}$倍．

点评 本题综合考查了牛顿第二定律和动能定理，关键是理清运动的过程，运用合适的规律进行求解；同时注意应用最高点的临界条件，明确向心力公式的正确应用．