题目内容
9.如图1所示是游乐场中过山车的实物图片,可将过山车的一部分运动过程简化为图2的模型图.模型图中光滑圆形轨道的半径R=8.0m,该光滑圆形轨道固定在倾角为θ=37o斜轨道面上的Q点,圆形轨道的最高点A与倾斜轨道上的P点平齐,圆形轨道与斜轨道之间圆滑连接.现使小车(视作质点)从P点以一定的初速度沿斜面向下运动,小车经过P点的初速度v0=12m/s.不计空气阻力,取g=10m/s2,sin37°=0.6,cos37°=0.8.若小车恰好能通过圆形轨道的最高点A处,则:(1)小车在A点的速度为多大?
(2)小车在圆形轨道运动时对轨道的最大压力为重力的多少倍?
(3)斜轨道面与小车间的摩擦力为小车对轨道压力的多少倍?
分析 (1)小车恰 好通过最高点,故重力充当向心力,则可求得A点的速度;
(2)根据机械能守恒定律可求得B点的速度,再根据向心力公式即可求得B点的支持力,再由牛顿第三定律可求得压力大小;
(3)由几何关系可求得PQ间的距离,对PA过程,由动能定理列式即可求得摩擦力大小,由力的合成和分解可求得压力,则可求得摩擦力与压力的关系.
解答 解:
(1)设小车经过A点时的最小速度为vA,根据牛顿第二定律有
mg=$\frac{m{v}_{A}^{2}}{R}$
vA=4$\sqrt{5}$m/s
(2)小车从Q点沿圆周运动的过程中机械能守恒,在圆周的最低点(设为B点)时,对轨道的压力最大,设小车经过此位置的速度为vB,依据机械能守恒定律,则有
$\frac{1}{2}$mvA2+2mgR=$\frac{1}{2}$mvB2
设轨道在最低点给小车的支持力为FB,根据牛顿第二定律有
FB-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
解得FB=6mg
依据牛顿第三定律可知,球对轨道的作用力FB'=6mg
即小车在圆形轨道运动时对轨道的最大压力为重力的6倍.
(3)设PQ间距离为L,L=$\frac{R(1+cosθ)}{sinθ}$
设小车从P点到A点的运动过程中受到的摩擦力为f,由动能定理得
-fL=$\frac{1}{2}$mvA2-$\frac{1}{2}$mv02
小车对轨道压力F压=mgcosθ
解得$\frac{f}{{F}_{压}}$=$\frac{1}{6}$
答:(1)小车在A点的速度为4$\sqrt{5}$m/s;
(2)小车在圆形轨道运动时对轨道的最大压力为重力的6倍;
(3)斜轨道面与小车间的摩擦力为小车对轨道压力的$\frac{1}{6}$倍.
点评 本题综合考查了牛顿第二定律和动能定理,关键是理清运动的过程,运用合适的规律进行求解;同时注意应用最高点的临界条件,明确向心力公式的正确应用.
A. | 可以是22N,方向沿斜面向上 | B. | 可以是2N.方向沿斜面向上 | ||
C. | 可以是5N,方向沿斜面向下 | D. | 可以是2N,方向沿斜面向下 |
A. | 7 m/s2 | B. | 5 m/s2 | C. | 3 m/s2 | D. | 1 m/s2 |
A. | $\sqrt{\frac{gRh}{L}}$ | B. | $\sqrt{\frac{gRh}{d}}$ | C. | $\sqrt{\frac{gRL}{h}}$ | D. | $\sqrt{\frac{gRd}{h}}$ |
A. | Ⅰ物体的加速度不断增大,Ⅱ物体的加速度不变 | |
B. | 在t1时刻两物体速度的大小相等,方向相同 | |
C. | 在t1时刻物体Ⅰ在物体Ⅱ的后面 | |
D. | 0~t2时间内Ⅰ、Ⅱ两个物体的平均速度大小相等 |
A. | “墨子号”运行线速度比同步卫星线速度小 | |
B. | “墨子号”运行线速度比同步卫星线速度大 | |
C. | “墨子号”运行周期比同步卫星周期大 | |
D. | “墨子号”运行角速度比同步卫星角速度小 |