Question

17．当今医学成像诊断设备PET/CT堪称“现代医学高科技之冠”，它在医疗诊断中，常利用能放射电子的同位素碳11作为示踪原子，碳11是由小型回旋加速器输出的高速质子轰击氮14获得的．加速质子的回旋加速器如图甲所示．D型盒装在真空容器中，两D型盒内匀强磁场的磁感应强度为B，两D型盒间的交变电压的大小为U．若在左侧D₁盒圆心处放有粒子源S不断产生质子，质子质量为m，电荷量为q．假设质子从粒子源S进入加速电场时的初速度不计，不计质子所受重力，忽略相对论效应．

（1）第1次被加速后质子的速度大小v₁是多大？
（2）若质子在D型盒中做圆周运动的最大半径为R，且D型盒间的狭缝很窄，质子在加速电场中的运动时间可忽略不计．那么，质子在回旋加速器中运动的总时间t_总是多少？
（3）要把质子从加速器中引出，可以采用静电偏转法．引出器原理如图乙所示，一对圆弧形金属板组成弧形引出通道，内、外侧圆弧形金属板分别为两同心圆的一部分，圆心位于Oˊ点．内侧圆弧的半径为r₀，外侧圆弧的半径为r₀+d．在内、外金属板间加直流电压，忽略边缘效应，两板间产生径向电场，该电场可以等效为放置在Oˊ处的点电荷Q在两圆弧之间区域产生的电场，该区域内某点的电势可表示为φ=k$\frac{Q}{r}$（r为该点到圆心Oˊ点的距离）．质子从M点进入圆弧形通道，质子在D型盒中运动的最大半径R对应的圆周，与圆弧形通道正中央的圆弧相切于M点．若质子从圆弧通道外侧边缘的N点射出，则质子射出时的动能E_k是多少？要改变质子从圆弧通道中射出时的位置，可以采取哪些办法？

Answer 1

分析 （1）质子在盒间加速时，电场力做功引起动能变化，根据动能定理求解第1次被加速后质子的速度大小v₁；
（2）质子最终从出口处射出D形盒时，轨迹半径等于D形盒的半径R，此时速度最大．根据质子在磁场中运动时，由洛伦兹力提供向心力列式求质子射出时的动能E_km．由动能定理求出质子被加速的次数，即可结合周期求解出总时间．
（3）根据能量守恒定律，结合电势的公式，即可求出质子射出时的动能，改变电场的强弱和磁场的强弱，可以改变质子射出磁场的位置

解答 解：（1）质子第一次被加速，由动能定理：$qU=\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
解得：${v}_{1}^{\;}=\sqrt{\frac{2qU}{m}}$
（2）质子在磁场中做圆周运动时，洛伦兹力提供向心力：$qvB=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
质子在做圆周运动的周期为：$T=\frac{2πR}{v}$
设质子运动至M点前被电场加速了n次，由动能定理：$nqU=\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}$
质子在磁场中做圆周运动的周期恒定，在回旋加速器中运动的总时间为：
${t}_{总}^{\;}=\frac{n}{2}T$
解得：${t}_{总}^{\;}=\frac{πB{R}_{\;}^{2}}{2U}$
（3）设M、N两点的电势分别为${φ}_{1}^{\;}$、${φ}_{2}^{\;}$，由能量守恒定律：$q{φ}_{1}^{\;}+\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}=q{φ}_{2}^{\;}+{E}_{k}^{\;}$
由题可知：${φ}_{1}^{\;}=k\frac{Q}{{r}_{0}^{\;}+\frac{1}{2}d}$，${φ}_{2}^{\;}=k\frac{Q}{{r}_{0}^{\;}+d}$
解得：${E}_{k}^{\;}=kQq（\frac{2}{2{r}_{0}^{\;}+d}-\frac{1}{{r}_{0}^{\;}+d}）+\frac{{q}_{\;}^{2}{B}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{2}}{2m}$
改变圆弧通道内、外金属板间所加直流电压的大小（改变圆弧通道内电场的强弱），或者改变圆弧通道内磁场的强弱，可以改变质子从圆弧通道中射出的位置
答：（1）第1次被加速后质子的速度大小v₁是$\sqrt{\frac{2qU}{m}}$
（2）若质子在D型盒中做圆周运动的最大半径为R，且D型盒间的狭缝很窄，质子在加速电场中的运动时间可忽略不计．那么，质子在回旋加速器中运动的总时间t_总是$\frac{πB{R}_{\;}^{2}}{2U}$
（3）质子射出时的动能E_k是$kQq（\frac{2}{2{r}_{0}^{\;}+d}-\frac{1}{{r}_{0}^{\;}+d}）+\frac{{q}_{\;}^{2}{B}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{2}}{2m}$，要改变质子从圆弧通道中射出时的位置，可以采取办法有：改变圆弧通道内、外金属板间所加直流电压的大小（改变圆弧通道内电场的强弱），或者改变圆弧通道内磁场的强弱，可以改变质子从圆弧通道中射出的位置

点评 解决本题的关键理解回旋加速器的工作原理，知道粒子出回旋加速器时轨道半径，对应的速度最大，根据洛伦兹力等于向心力可求出最大速度．