Question

11．宇宙间存在一些离其它恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统如图所示，三颗质量  均为m的星位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为L，忽略其它星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动，万有引力常量为G，下列说法正确的是（　　）

• A． 每颗星做圆周运动的角速度为$\root{3}{\frac{Gm}{{L}^{3}}}$
• B． 每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关
• C． 若距离L和每颗星的质量m都变为原来的2倍，则周期变为原来的2倍
• D． 若距离L和每颗星的质量m都变为原来的2倍，则线速度变为原来的4倍

Answer 1

分析 每颗星做匀速圆周运动，靠另外两颗星万有引力的合力提供向心力，具有相同的角速度，根据合力提供向心力求出角速度的大小、向心加速度的大小，以及周期和线速度的大小，从而分析判断．

解答 解：任意两个星星之间的万有引力为：F=$G\frac{{m}^{2}}{{L}^{2}}$，
则其中一颗星星所受的合力${F}_{合}=2Fcos30°=\sqrt{3}F=\frac{\sqrt{3}G{m}^{2}}{{L}^{2}}$，
根据$\frac{\sqrt{3}G{m}^{2}}{{L}^{2}}=ma=m\frac{{v}^{2}}{r}=mr{ω}^{2}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$得，
r=$\frac{\sqrt{3}}{3}L$，
解得ω=$\sqrt{\frac{3Gm}{{L}^{3}}}$，故A错误．
加速度a=$\frac{\sqrt{3}Gm}{{L}^{2}}$，与三星的质量有关，故B错误．
周期T=$2π\sqrt{\frac{{L}^{3}}{3Gm}}$，若距离L和每颗星的质量m都变为原来的2倍，则周期变为原来的2倍，故C正确．
线速度v=$\sqrt{\frac{Gm}{L}}$，若距离L和每颗星的质量m都变为原来的2倍，则线速度大小不变，故D错误．
故选：C．

点评 解决该题首先要理解模型所提供的情景，然后能够列出合力提供向心力的公式，才能正确解答题目．