Question

18．如图所示，边长为R的正方体空间图形ABCD-A₁B₁C₁D₁，其下表面在水平地面上，将质量为m的小球从顶点A在∠BAD所在范围内（包括边界）分别沿不同的水平方向抛出，落点都在A₁B₁C₁D₁平面范围内（包括边界）．不计空气阻力，重力加速度为g．
（1）若小球落在B₁D₁线段上，求小球落地时最大的动能；
（2）若小球轨迹与AC₁线段相交，在交点处的速度方向与水平面的夹角为α，求tanα．

Answer 1

分析 小球做平抛运动，水平分运动为匀速直线运动，竖直分运动为自由落体运动．运动时间由下落的高度决定．由分位移公式求初速度．由机械能守恒定律研究落地时机械能．注意明确几何关系的正确应用即可求解．

解答 解：（1）小球落在B₁点时速度最大，落地动能最大，根据机械能守恒定律有：
E_k=mgR+$\frac{1}{2}$mv₀²
小球做平抛运动
竖直方向上：R=$\frac{1}{2}$gt²
水平方向上：R=v₀t
解得：E_K=1.25mgR
（2）轨迹与AC₁线段相交的小球，根据几何关系有：
lcosθ=v₀t
lsinθ=$\frac{1}{2}$gt²
而由几何关系可知：cosθ=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，sinθ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
在交点处小球的竖直分速度：
v_y=v₀t
故tanθ=$\frac{{v}_{Y}}{{v}_{0}}$
解得：tanθ=$\sqrt{2}$
答：（1）若小球落在B₁D₁线段上，小球落地时最大的动能1.25mgR；
（2）若小球轨迹与AC₁线段相交，在交点处的速度方向与水平面的夹角为α，tanα等于$\sqrt{2}$．

点评 解决本题的关键要掌握机械能守恒定律的应用以及平抛运动的研究方法，掌握分位移公式，明确水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体规律的分别研究．